Question

14．如圖，二次函數(shù)y=-2x²+4x的頂點(diǎn)為M，一次函數(shù)y=x與拋物線分別交于O，N兩點(diǎn)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，直線ON上一動(dòng)點(diǎn)Q
（1）請(qǐng)分別求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；
（2）P、Q、M、N四點(diǎn)能否構(gòu)成以MN為邊的平行四邊形？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)Q、M、N三點(diǎn)作⊙E，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，圓心E運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）利用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組可求點(diǎn)N坐標(biāo)．
（2）存在．過(guò)點(diǎn)M作MP∥ON，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥MN，則四邊形MNQP是平行四邊形．求出直線PM的解析式，利用方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性，求出P′、P″的坐標(biāo)即可．
（3）如圖，連接OM，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，圓心E運(yùn)動(dòng)路徑是線段E′E″，易知E′E″是△MON是中位線，求出ON的長(zhǎng)即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=-2x²+4x=-2（（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（2）存在．理由如下，
過(guò)點(diǎn)M作MP∥ON，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥MN，則四邊形MNQP是平行四邊形．
∵PM∥ON，
∴直線PM的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
直線PM與y軸的交點(diǎn)為H（0，1），點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)K（0，-1），過(guò)點(diǎn)K平行ON的直線為y=x-1，直線y=x-1與拋物線的交點(diǎn)P′、P″也滿足條件．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}}\end{array}\right.$，
∴P′（$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$），P″（$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$）．

（3）如圖，連接OM，
∵M(jìn)（1，2），N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，ON=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴OM²=5，MN²+ON²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=5，
∴OM²=MN²+ON²，
∴∠MNO=90°，
∴△MNQ的外接圓的圓心是線段MQ的中點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，圓心E運(yùn)動(dòng)路徑是線段E′E″，易知E′E″是△MON是中位線，
∵ON=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴E′E″=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
故答為$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、兩直線平行k相同、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，第三個(gè)問題的關(guān)鍵是證明∠MNO=90°，確定點(diǎn)E的軌跡是△MON的中位線，屬于中考?jí)狠S題．