Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（7，0），點B的坐標為（3，4），
（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）將線段AB繞A點順時針旋轉75°至AC，直接寫出點C的坐標；
（3）在y軸上找一點P，第一象限找一點Q，使得以O、B、Q、P為頂點的四邊形是菱形，求出點Q的坐標；
（4）△OAB的邊OB上有一動點M，過M作MN∥OA交AB于N，將△BMN沿MN翻折得△DMN．設MN=x，△DMN與△OAB重疊部分的面積為y，求出y與x之間的函數關系式，并求出重疊部分面積的最大值．

Answer 1

（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
∵點A（7，0）、B（3，4）在拋物線上，
∴

49a+7b=0 9a+3b=4

，
解得

a=- 1 3 b= 7 3

，
∴拋物線解析式y(tǒng)=-

1

3

x²+

7

3

x；

（2）過點C作CE⊥x軸于E，
∵A（7，0），B（3，4），
∴AB=

(7-3)2+42

=4

2

，∠BAO=45°，
∵AB繞A點順時針旋轉75°至AC，
∴∠CAE=180°-45°-75°=60°，
∴CE=4

2

×

3

2

=2

6

，AE=4

2

×

1

2

=2

2

，
∴OE=OA+AE=7+2

2

，
∵點C在第一象限，
∴點C的坐標為（7+2

2

，2

6

）；

（3）由勾股定理得，OB=

32+42

=5，
①OB是菱形的邊時，點Q到x軸的距離為4+5=9，
所以，點Q的坐標（3，9）；
②OB是菱形的對角線時，BQ=

1

2

OB÷cos∠OBQ=

5

2

÷

4

5

=

25

8

，
所以，點Q到x軸的距離為4-

25

8

=

7

8

，
所以，點Q的坐標為（3，

7

8

），
綜上所述，以O、B、Q、P為頂點的四邊形是菱形，點Q的坐標為（3，9）或（3，

7

8

）；

（4）當點D在OA上時，MN=

1

2

OA=

7

2

，
①0＜x≤

7

2

時，重疊部分是△DMN的面積，
△OAB的面積=

1

2

×7×4=14，
∵MN∥OA，
∴△BMN∽△BOA，
∴

S△BMN

S△BOA

=（

MN

OA

）²=（

x

7

）²=

1

49

x²，
∴y=

1

49

x²•14=

2

7

x²，
當x=

7

2

時，y最大且最大值為

7

2

；
②

7

2

＜x＜7時，連接BD交MN于F，交OA于G，設DM與OA相交于H，DN與OA相交于K，
由△BMN∽BOA得，

MN

OA

=

BF

BG

，
即

x

7

=

BF

4

，
解得BF=

4

7

x，
由翻折的性質得，BF=DF=

4

7

x，
∴FG=4-

4

7

x，DG=

4

7

x-（4-

4

7

x）=

8

7

x-4，
由△DHK∽△DMN得，

HK

MN

=

DG

DF

，
即

HK

x

=

8 7 x-4

4 7 x

，
解得HK=2x-7，
重疊部分面積y=S_{四邊形MHKN}=

1

2

×（2x-7+x）×（4-

4

7

x）=-

6

7

x²+8x-14，
配方得，y=-

6

7

（x-

14

3

）²+

14

3

，
當x=

14

3

時，y最大且最大值為

14

3

，
綜上所述，y與x之間的函數關系式為y=

y= 2 7 x2(0＜x≤ 7 2 ) y=- 6 7 x2+8x-14( 7 2 ＜x＜7)

，
∵

7

2

＜

14

3

，
∴當x=

14

3

時，y最大且最大值為

14

3

．