Question

13．如圖在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x²-x-6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，如果點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線上，S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，-6）或（4，6）．

Answer 1

分析 令y=0，解方程求出A，B兩點(diǎn)，再令x=0，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)它在拋物線上和S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB，這兩個(gè)條件求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：∵y=x²-x-6為拋物線，
∵拋物線y=x²-x-6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
令y=0，設(shè)方程x²-x-6=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a²-a-6），（a＞0）
∵S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$×AO×|y_M|=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×OC×|x_B|，
∴$\frac{1}{2}$×2×|a²-a-6|=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3，
解得，a₁=0，a₂=1，a₃=-3，a₄=4，
∵點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線上，
∴a＞0，
∴a=1，或a=4，
a²-a-6=1²-1-6=-6，或a²-a-6=4²-4-6=6
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-6）或（4，6）．
故答案為：（1，-6）或（4，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，若方程無根說明函數(shù)與x軸無交點(diǎn)，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉(zhuǎn)化，要充分運(yùn)用這一點(diǎn)來解題，另外此題把三角形的面積關(guān)系式與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，計(jì)算量比較大，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系來解題．