Question

11．Rt△ABC中，AB=AC，M為BC邊上一點，連接AM，過點B作BN⊥AM交AC于點E，交AM于D點，在AC上截取CF=AE，連接MF并延長交BN于N點．求證：∠AMB=∠CMF．

Answer 1

分析 作CG⊥AC交AM的延長線與G，由角的互余關(guān)系證出∠AEB=∠G，由AAS證明△ABE≌△ACG，得出AE=CG，因此CG=CF，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACM=45°，得出∠GCM=∠ACM，由SAS證明△CMF≌△CMG，得出∠CMG=∠CMF，再由對頂角相等即可得出結(jié)論．

解答 證明：作CG⊥AC交AM的延長線與G，如圖所示：
則∠ACG=90°，
∴∠CAG+∠G=90°，
∵BN⊥AM，
∴∠ADE=90°，
∴∠CAG+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠G，
在△ABE和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠∠ACG=90°°}&{\;}\\{∠∠AEB=∠G}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACG（AAS），
∴AE=CG，
∵CF=AE，
∴CG=CF，
∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ACBM=45°，
∴∠GCM=45°=∠ACM，
在△CMF和△CMG中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CG}&{\;}\\{∠FCM=∠GCM}&{\;}\\{CM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△CMG（SAS），
∴∠CMG=∠CMF，
∵∠AMB=∠CMG，
∴∠AMB=∠CMF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)等知識；本題有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．