Question

14．一個(gè)Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，將它放在直角坐標(biāo)系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．

Answer 1

分析 設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)（a，0），借助Rt△ABC中的邊角關(guān)系，用a表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A點(diǎn)坐標(biāo)再代入反比例函數(shù)關(guān)系式，即能求出a值，從而得解．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A（點(diǎn)A在第一象限）做x軸的垂線，交x軸于D點(diǎn)，圖形如下，

①當(dāng)點(diǎn)B在A的右側(cè)時(shí)，
∵Rt△ABD，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（a-1，$\sqrt{3}$），
又∵直角頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴有$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$，解得a=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
結(jié)合反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知：點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為（-3，0）．
②當(dāng)點(diǎn)B在A的右側(cè)時(shí)，
∵Rt△ABD，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（a+1，$\sqrt{3}$），
又∵直角頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴有$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a+1}$，解得a=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．
結(jié)合反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知：點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為（-1，0）．
綜上可得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．
故答案為：（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)（a，0），借助Rt△ABC中的邊角關(guān)系，用a表示出A點(diǎn)坐標(biāo)．