如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（1）把三點(diǎn)代入拋物線解析式
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
，
即得：
a=-1
b=2
c=3
，
所以二次函數(shù)式為y=-x2+2x+3；

（2）由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
則頂點(diǎn)P（1，4），
由B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求直線BC解析式為y=-x+3，
設(shè)過點(diǎn)P與直線BC平行的直線為：y=-x+b′，
將點(diǎn)P（1，4）代入，得y=-x+5，
則過點(diǎn)P與直線BC平行的直線與拋物線聯(lián)立，有則存在點(diǎn)Q，
-x2+2x+3=-x+5，
即x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
代入直線則得點(diǎn)（1，4）或（2，3），
已知點(diǎn)P（1，4），
所以點(diǎn)Q（2，3），
由對(duì)稱軸及直線BC解析式可知M（1，2），PM=2，
設(shè)過P′（1，0）且與BC平行的直線為y=-x+f，
將P′代入，得y=-x+1，
聯(lián)立
y=-x+1
y=-x2+2x+3
，解得
x=
3-
17
2
y=
-1+
17
2
或
x=
3+
17
2
y=
-1-
17
2
，
∴Q（2，3）或（
3-
17
2
，
-1+
17
2
）或Q（
3+
17
2
，
-1-
17
2
）；

（3）由題意求得直線BC代入x=1，則y=2，
∴M（1，2），
由點(diǎn)M，P的坐標(biāo)可知：
點(diǎn)R存在，即過點(diǎn)M平行于x軸的直線，
則代入y=2，x2-2x-1=0，
解得x=1-
2
（在對(duì)稱軸的左側(cè)，舍去），x=1+
2
，
即點(diǎn)R（1+
2
，2）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上（如圖示）
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求出l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=x2-mx+m-2．
（1）求證：無論m為任何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，6）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（3）將直線y=x向下平移2個(gè)單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（-3
3
，1）、C（-3
3
，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（-
3
，1）、F（-
4
3
3
，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′．
（1）求折痕所在直線EF的解析式；
（2）一拋物線經(jīng)過B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；
（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長最小？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線C1：y=x2+3先向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到拋物線C2．C2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）若拋物線C2的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，與拋物線C2交于點(diǎn)D，與拋物線C1交于點(diǎn)E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請(qǐng)證明四邊形ADBE是菱形，并計(jì)算它的面積；
（3）若點(diǎn)F為對(duì)稱軸DE上任意一點(diǎn)，在拋物線C2上是否存在這樣的點(diǎn)G，使以O(shè)、B、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-
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2
x2+bx+4上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線y=-
1
2
x2+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過點(diǎn)F？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2-（m-1）x+m2-6交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)C位于第二象限，連接AB，AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn)，且在B點(diǎn)上方，若∠DCB=∠CAB，請(qǐng)你猜想并證明CD與AC的位置關(guān)系；
（3）設(shè)與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā)，沿x軸負(fù)方向平移t個(gè)單位長度（0＜t≤3）時(shí)，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線l過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，它與二次函數(shù)y=ax2的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，若S△AOP=
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，求二次函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），直線x=-3交x軸于點(diǎn)B，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交于直線x=-3于點(diǎn)C．過P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于M，交直線x=-3于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，求證：△OPM≌△PCN；
（2）設(shè)AP長為m，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，請(qǐng)求出S與M之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=-3上移動(dòng)，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

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