Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0），直線(xiàn)y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上（如圖示）
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求出l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²，
由于直線(xiàn)y=x+2與y軸交于（0，2），
∴x=0，y=2
滿(mǎn)足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

（x-2）²；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（x，y），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-2x+2）
依題意得，PQ=l=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x2+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

，
求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），
∴0＜x＜6；

（3）由（2）知P的橫坐標(biāo)為0＜x＜6時(shí)，必有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上；
反之，Q的橫坐標(biāo)為0＜x＜6時(shí)，在線(xiàn)段AB上必有一點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，由題意得AM與PQ不會(huì)平行，
因此梯形的兩底只能是AP與MQ，
∵過(guò)點(diǎn)M（2，0）且平行AB的直線(xiàn)方程為y=x-2，
由

y=x-2 y= 1 2 (x-2)2

，
消去y得：x²-6x+8=0，即（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∵當(dāng)x=2時(shí)，P點(diǎn)、Q點(diǎn)、M點(diǎn) 三點(diǎn)共線(xiàn)，與A點(diǎn)只能構(gòu)成三角形，而不能構(gòu)成梯形；
∴x=2這個(gè)解舍去．
∴過(guò)M點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為（4，2），
∵此交點(diǎn)橫坐標(biāo)4，落在0＜x＜6范圍內(nèi)，
∴Q的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，P（4，6）符合條件，
即存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（4，6），
設(shè)直線(xiàn)AB與x軸交于N，由條件可知，△ANM是等腰直角三角形，即AM=AN=2

2

，
AP=PN-AN=6

2

-2

2

=4

2

，MQ=2

2

，
AM為梯形PQMA的高，
故S_梯形PQMA=

1

2

（2

2

+4

2

）•2

2

=12．