Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC=BC，CD∥AB交OA的延長線于點D．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若∠ABC=30°，求證：四邊形AOBC是菱形；
（3）若∠ABC=30°，OA=1，求DC的長及AD、DC及弧AC圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,菱形的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出OC⊥AB，推出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠AOB=120°，求出∠OAB=∠OBA=∠CAB=∠ABC，推出OA∥BC，OB∥AC，得出平行四邊形AOBC，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）求出AB長，即可求出DC長，求出∠AOC的度數(shù)，分別求出三角形DCO和扇形AOC的面積，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1，連接OC交AB于E，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC垂直平分AB，
即AE=BE，OC⊥AB，
∵DC∥AB，
∴OC⊥DC，
∵OC為半徑，
∴DC是⊙O的切線；

（2）證明：如圖2，作圓周角AMB，則∠AMB=

1

2

∠AOB，
∵AC=BC，∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，∠ACB=180°-30°-30°=120°，
則∠AMB=180°-120°=60°，
∴∠AOB=2∠AMB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠OBA=∠CAB，∠OAB=∠ABC，
∴OA∥BC，OB∥AC，
∵OA=OB，
∴四邊形AOBC是菱形；

（3）解：∵OC⊥AB，∠OAB=30°，OA=1，
∴OE=

1

2

OA=

1

2

，由勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=

3

2

，∠AOC=90°-30°=60°，
∴AB=2AE=

3

，
∵四邊形AOBC是菱形，
∴OA∥BC，
∵DC∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB=

3

，AD=BC=AO=1，
∴陰影部分的面積S=S_△DCO-S_扇形AOC=

1

2

×

3

×1-

60π×12

360

=

3

2

-

1

6

π．

點評：本題考查了扇形的面積，三角形的面積，切線的判定，垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，能正確作出輔助線并能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．