Question

1．已知二次函數(shù)y=x²+mx+m-2．
（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）如果此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程根的判別式證明即可；
（2）解一元二次方程，求出二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵a=1，b=m，c=m-2，
∴△=m²-4m+8，
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴此二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：令y=0，得x²+m x+m-2=0，
解得 x₁=$\frac{{-m+{{\sqrt{{{（{m-2}）}^2}+4}}^{\;}}}}{2}$，x₂=$\frac{{-m-{{\sqrt{{{（{m-2}）}^2}+4}}^{\;}}}}{2}$，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于3
∴-m=3，
解得，m=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、理解一元二次方程根的判別式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．