Question

12．如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，滿足BD=AE，連結(jié)CD、BE交于點(diǎn)O．已知BO=2，CO=5，則AO的長(zhǎng)為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{21}$
• C． 4
• D． $\sqrt{19}$

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)知BA=CB，∠BAE=∠CBD=60°，證△DBC≌△EAB得∠BCD=∠ABE，將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP，連接OP，即可知△BPO是等邊三角形，從而得∠BOP=60°、OP=BO=2、∠POC=∠BOC-∠BOP=60°，作PF⊥OC，即可求得OF=OPcos60°=1、PF=OPsin60°=$\sqrt{3}$，繼而知CF=CO-OF=4，再根據(jù)AO=PC=$\sqrt{P{F}^{2}+C{F}^{2}}$可得答案．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BA=CB，∠BAE=∠CBD=60°，
在△DBC和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CB=BA}\\{∠BAE=∠CBD}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△EAB（SAS），
∴∠BCD=∠ABE，
如圖，將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP，連接OP，

則△BPO是等邊三角形，
∴∠BOP=60°，OP=BO=2，
∴∠POC=∠BOC-∠BOP=60°，
作PF⊥OC于點(diǎn)F，則
OF=OPcos60°=1，PF=OPsin60°=$\sqrt{3}$，
∴CF=CO-OF=4，
在Rt△PFC中，PC=$\sqrt{P{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{19}$，
則AO=PC=$\sqrt{19}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．