Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角的斜邊在軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，為斜邊上的高．拋物線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．點(diǎn)在軸的正半軸上，過點(diǎn)作軸．交射線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為．

（1）求所在直線的解析式；
（2）求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖，設(shè)直線交射線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．以為一邊，在的右側(cè)作矩形，其中．直接寫出矩形與重疊部分為軸對稱圖形時(shí)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，S
（4）或或.

試題分析：（1）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出正比例函數(shù)直線OA的解析式；
（2）根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及直線OC的解析式，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)a的值；
（3）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OD、AD的長，由于△OAB是等腰直角三角形，即可確定OB的長；欲求四邊形ABDE的面積，需要分成兩種情況考慮：
①0＜m＜3時(shí)，P點(diǎn)位于線段OD上，此時(shí)陰影部分的面積為△AOB、△ODE的面積差；
②m＞3時(shí)，P點(diǎn)位于D點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)陰影部分的面積為△OBE、△OAD的面積差；
根據(jù)上述兩種情況陰影部分的面積計(jì)算方法，可求出不同的自變量取值范圍內(nèi)，S、m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若矩形RQMN與△AOB重疊部分為軸對稱圖形，首先要找出其對稱軸；
①由于直線OA的解析式為y=x，若設(shè)QM與OA的交點(diǎn)為H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么當(dāng)四邊形QRNM是正方形時(shí)，重合部分是軸對稱圖形，此時(shí)的對稱軸為QN所在的直線；可得QR=RN，由此求出m的值；
②以QM、RN的中點(diǎn)所在直線為對稱軸，此時(shí)AD所在直線與此對稱軸重合，可得PD=RN=，由OP=OD-PD即可求出m的值；
③當(dāng)P、D重合時(shí)，根據(jù)直線OC的解析式y(tǒng)=x知：RD=；此時(shí)R是AD的中點(diǎn)，由于RN∥x軸，且RN==DB，所以N點(diǎn)恰好位于AB上，RN是△ABD的中位線，此時(shí)重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是軸對稱圖形，所以此種情況也符合題意，此時(shí)OP=OD=3，即m=3；
當(dāng)R在AB上時(shí)，根據(jù)直線OC的解析式可用m表示出R的縱坐標(biāo)，即可得到PR、PB的表達(dá)式，根據(jù)PR=PB即可求出m的值；
根據(jù)上述三種軸對稱情況所得的m的值，及R在AB上時(shí)m的值，即可求得m的取值范圍．
（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
則有：3k=3，k=1；
∴直線的解析式為；
（2）當(dāng)x=6時(shí)，y=x=3，
∴C（6，3）；
將C（6，3）代入拋物線的解析式中，
得：36a+12=3，解得；
（3）當(dāng)時(shí)，如圖①，

＝；
當(dāng)時(shí)，如圖②，



（4）或或.
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．