7.在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-$\frac{4}{3}$x+4交x軸,y軸分別于點(diǎn)A,點(diǎn)B,將△AOB繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD,直線CD交直線AB于點(diǎn)E,如圖1:

(1)求:直線CD的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如圖2,連接OE,過點(diǎn)O作OF⊥OE交直線CD于點(diǎn)F,如圖2,
①求證:∠OEF=45°;
②求:點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是直線DC上一點(diǎn),點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)O重合),當(dāng)△DPQ和△DOC全等時,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 (1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論,進(jìn)而判斷出△AOB≌△COD得出CO=OA=3,OD=OB=4,即可得出點(diǎn)C,D坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)①由(1)結(jié)論和同角的余角相等判斷出,△BOE≌△DOF,即可得出△EOF是等腰直角三角形,即可得出結(jié)論;
②先確定出點(diǎn)E的坐標(biāo),再借助①的結(jié)論判斷出△OHE≌△OGF,即可得出OG=OH,F(xiàn)G=EH即可得出F的坐標(biāo);
(3)分三種情況利用全等三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可確定出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4交x軸,y軸分別于點(diǎn)A,點(diǎn)B,
∴A(3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∵△AOB繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD,
∴△AOB≌△COD,
∴CO=OA=3,OD=OB=4,
∴C(0,3),D(-4,0),
設(shè)直線CD 的解析式為y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直線CD 的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3;

(2)①由(1)知,△AOB≌△COD,
∴OB=OD,∠ABO=∠CDO,
∵OF⊥OE,∠COF+∠COE=90°,
∵∠COE+∠DOF=90°,
∴∠BOE=∠DOF,
在△BOE和△DOF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠DOF}\\{OB=OD}\\{∠ABO=∠CDO}\end{array}\right.$,
∴△BOE≌△DOF,
∴OE=OF,
∵∠EOF=90°,
∴△EOF是等腰直角三角形,
∴∠OEF=45°;


②)如圖2,∵直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4①,
由(1)知,直線CD 的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3②;
聯(lián)立①②得,E($\frac{12}{25}$,$\frac{84}{25}$),
過點(diǎn)F作FG⊥OD.過點(diǎn)E作EH⊥OB,
由①知,△BOE≌△DOF,
∴∠BOE=∠DOF,OE=OF
在△OHE和△OGF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠OHE=∠OGF=90°}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$,
∴△OHE≌△OGF,
∴OG=OH=$\frac{84}{25}$,F(xiàn)G=EH=$\frac{12}{25}$
∴F(-$\frac{84}{25}$,$\frac{12}{25}$),

(3)如圖1,
①∠DP'Q'=90°,
∵△P'Q'D≌△OCD,
∴DP'=OD=4,
∵∠CDO=∠P'DQ',
∴cos∠P'DQ'=$\frac{4}{5}$,sin∠P'DQ'=$\frac{3}{5}$,
作P'H⊥x軸,則DH=DP'•cos∠PDQ=$\frac{16}{5}$,P'H=DP'•cos∠PDQ=$\frac{12}{5}$,
∴OH=OD+DH=$\frac{36}{5}$
∴點(diǎn)P'坐標(biāo)(-$\frac{36}{5}$,-$\frac{12}{5}$);

②∠DQP=90°,
∵△PQD≌△COD,(SAS)
∴DQ=OD=4,PQ=3,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)(-8,-3);

③∠DP''Q''=90°,
∵△P''Q''D≌△OCD,(SAS)
∴DP''=OD=4,P''Q''=OC=3,
∴P''G=DP''•sin∠CDO=$\frac{12}{5}$,DG=DP''•cos∠CDO=$\frac{16}{5}$,
∴OG=$\frac{4}{5}$,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)(-$\frac{4}{5}$,$\frac{12}{5}$);
即:△DPQ和△DOC全等時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-$\frac{36}{5}$,-$\frac{12}{5}$)、(-8,-3)、(-$\frac{4}{5}$,$\frac{12}{5}$);

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),判斷出△BOE≌△DOF是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.如圖,AT是⊙O的切線,OD⊥BC于點(diǎn)D,并且AT=10cm,AC=20cm,OD=4cm,則半徑OC=( 。
A.8.5cmB.8cmC.9.5cmD.9cm

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖,已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x2+4交x軸、y軸于點(diǎn)A、C,以O(shè)A、OC為邊作正方形OABC,且D(0,3),E(-2,0),點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個動點(diǎn)(含端點(diǎn)),過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F,連接PD、PE、DE.
(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時,PD-PF=1;
        當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時,PD-PF=1;
        猜想:對任意一點(diǎn)P,PD-PF=1.判斷該猜想是否正確,并說明理由;
(2)是否存在點(diǎn)P,使△PDE的周長最小?若存在,請求出些時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)△PDE的面積為S,求S的取值范圍,并寫出S為整數(shù)時P點(diǎn)的個數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動,誦讀材料有《論語》、《大學(xué)》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示這三個材料),將A,B,C分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗勻后放在桌面上,比賽時小禮先從中隨機(jī)抽取一張卡片,記下內(nèi)容后放回,洗勻后,再由小智從中隨機(jī)抽取一張卡片,他倆按各自抽取的內(nèi)容進(jìn)行誦讀比賽.
(1)小禮誦讀《論語》的概率是$\frac{1}{3}$;(直接寫出答案)
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求他倆誦讀兩個不同材料的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.下列運(yùn)算正確的是( 。
A.$\frac{a}{m}$+$\frac{m}$=$\frac{a+b}{2m}$B.$\frac{a}{x-y}$-$\frac{a}{y-x}$=0C.1+$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{a}$D.$\frac{x}{x+y}$+$\frac{y}{x+y}$=1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.如圖,在正方形ABCD中,E位DC邊上的點(diǎn),連結(jié)BE,將△BCE繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF,連結(jié)EF,若∠BEC=60°,則∠EFD的度數(shù)為( 。
A.15°B.10°C.20°D.25°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊的長是方程x2-6x+8=0的一個根,則這個三角形的周長是(  )
A.11或13B.13或15C.11D.13

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.關(guān)于x的分式方程$\frac{m-1}{x-1}$=2的解為正數(shù),則m的取值范圍是(  )
A.m>-1B.m≠1C.m>1D.m>-1且m≠1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD為BC邊上中線,若AD=$\sqrt{5}$,△ABC周長為6+2$\sqrt{5}$,則△ABC的面積為4.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案