Question

18．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x軸、y軸于點A、C，以O(shè)A、OC為邊作正方形OABC，且D（0，3），E（-2，0），點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，連接PD、PE、DE．
（1）當點P與點A重合時，PD-PF=1；
        當點P與點C重合時，PD-PF=1；
        猜想：對任意一點P，PD-PF=1．判斷該猜想是否正確，并說明理由；
（2）是否存在點P，使△PDE的周長最�。咳舸嬖�，請求出些時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)△PDE的面積為S，求S的取值范圍，并寫出S為整數(shù)時P點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分別求出PF、PD的值即可解決問題．
（2）在點P運動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時，△PDE的周長最小，因為PD-PF=1，所以PD=PF+1，PE+PD=PE+PF+1，推出當P、E、F三點共線時，PE+PF最小．
（3）設(shè)P（a，-$\frac{1}{4}$ a²+4），求出直線DE的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+3，過點P作PN⊥x軸于點N，交DE于點M，則M點坐標為（a，$\frac{3}{2}$a+3），PM=-$\frac{1}{4}$a²+4-$\frac{3}{2}$a-3=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{2}$a+1，根據(jù)S_△PDE=S_△PME+S_△PMD= $\frac{1}{2}$PM×EN+$\frac{1}{2}$PM×ON=$\frac{1}{2}$PM（EN+ON）=$\frac{1}{2}$PM×OE=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1）=-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=-$\frac{1}{4}$（a+3）²+$\frac{13}{4}$，推出-4≤a≤0，且當a=-3時，S_最大=$\frac{13}{4}$，推出1≤S_△PDE≤$\frac{13}{4}$，根據(jù)S為整數(shù)，推出S=1 或2或3，分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x軸、y軸于點A、C，
∴A（-4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∵四邊形AOCB是正方形，
∴AB=CB=OA=OC=4，
當點P與點A重合時，PF=AB=4，PD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PD-PF=5-4=1，
當點P與點C重合時，PF=0，PD=1，PD-PF=1-0=1，
猜想：對于任意一點P，PD-PF=1，
猜想正確，理由：設(shè)P（a，-$\frac{1}{4}$ a²+4），則F（a，4），
∵D（0，3），
∴PD=$\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{1}{4}{a}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，PF=4-（-$\frac{1}{4}$a²+4）=$\frac{1}{4}$a²，
∴PD-PF=1；
故答案分別為1，1，1．

（2）在點P運動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時，△PDE的周長最小，
∵PD-PF=1，∴PD=PF+1，
∴PE+PD=PE+PF+1，
∴當P、E、F三點共線時，PE+PF最小，
此時點P，E的橫坐標都為-2，
將x=-2代入y=-$\frac{1}{4}$a²+4，得y=3，
∴P（-2，3）．

（3）由（1）得：設(shè)P（a，-$\frac{1}{4}$ a²+4）
∵點D、E的坐標分別為（0，3），（-2，0），
∴設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{2}$x+3，
過點P作PN⊥x軸于點N，交DE于點M
則M點坐標為（a，$\frac{3}{2}$a+3）
∴PM=-$\frac{1}{4}$a²+4-$\frac{3}{2}$a-3=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{2}$a+1
∴S_△PDE=S_△PME+S_△PMD= $\frac{1}{2}$PM×EN+$\frac{1}{2}$PM×ON=$\frac{1}{2}$PM（EN+ON）=$\frac{1}{2}$PM×OE
=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1）
=-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=-$\frac{1}{4}$（a+3）²+$\frac{13}{4}$，
∵-4≤a≤0，且當a=-3時，S_最大=$\frac{13}{4}$
∴1≤S_△PDE≤$\frac{13}{4}$，
∵S為整數(shù)，
∴S=1 或2或3，
當S=1時，-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=1，符合條件的點P只有一個．
當S=2時，-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=2，符合條件的點P只有一個．
當S=3時，-$\frac{1}{4}$ a²-$\frac{3}{2}$a+1=3，符合條件的點P有二個．
∴p點的個數(shù)有4個．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、正方形的性質(zhì)、三角形的面積、一次函數(shù)的應(yīng)用、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用垂線段最短解決問題最值問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決實際問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．