8.△ABC中,點O是AC邊上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點F.
(1)求證:EO=FO;
(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

分析 (1)由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行線的性質(zhì)有∠1=∠3,等量代換有∠2=∠3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF;
(2)OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形,又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線,易證∠ECF是90°,從而可證四邊形AECF是矩形.

解答 (1)解:當點O運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形;理由如下:如圖所示:
∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,
同理,F(xiàn)O=CO,
∴EO=FO;

(2)解:∵OA=OC,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵CF是∠BCA的外角平分線,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠5=∠2+∠4,
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,
∴∠2+∠4=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.

點評 本題考查了矩形判定,平行四邊形判定,平行線性質(zhì),角平分線定義的應(yīng)用,主要考查學生的推理能力.

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