Question

11．已知拋物線L：y=ax²+bx+c（b²-4ac＞0c≠0）分別交x軸于點A、B，交y軸于點C，則稱△ABC為拋物線L的內(nèi)接三角形，拋物線L稱為△ABC的外接拋物線．
（1）如圖①，拋物線y=-x²-3x+4的內(nèi)接△ABC，求△ABC的面積．
（2）若拋物L的內(nèi)接△ABC的面積為10，且A（-4，0），B（1，0），C（0，c），求拋物線L的解析式．
（3）如圖②，若拋物L：y=-2x²-4x+c（c＞0）上有一點P（點P可以和點C 重合），且S_△PAB=mS_△ABC，請直接寫出當c，m滿足什么關(guān)系時，使得這樣的點P的個數(shù)為2個．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得x₁=-4，x₂=1，故此可知AB=5，令x=0，得y=4從而得到點C的坐標為（0，4），故此可知OC=4，最后由三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）由題意可知；BA=5，由三角形的面積公式可知OC=4，當c=4時，拋物線的解析式為y=-x²-3x+4，當c=-4可求得拋物線的解析式為y=x²+3x-4；
（3）由拋物線的解析式可求得拋物線的對稱軸方程為x=-1，將x=-1代入得y=2+c，從而得到拋物線的頂點坐標為（-1，2+c），在x軸的下方必然存在2個點P使得S_△PAB=mS_△ABC，故此再x軸的上S_△PAB＜mS_△ABC，從而得到PD＜mOC，故此可求得m與c的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）∵令y=0得：-x²-3x+4=0，解得：x₁=-4，x₂=1，
∴AB=5．
∵令x=0，得y=4，
∴點C的坐標為（0，4）．
∴OC=4．
由三角形的面積公式可知：△ABC的面積=$\frac{1}{2}AB•OC$-$\frac{1}{2}×5×4$=10．
（2）∵A（-4，0），B（1，0），C（0，c），
∴AB=5，OC=|c|．
∵△ABC的面積為10，
∴$\frac{1}{2}AB×OC$=10，即$\frac{1}{2}×5×|c|=10$．
解得：|c|=4．
∴c=4或c=-4．
當c=4時，由（1）可知拋物線的解析式為y=-x²-3x+4．
當c=-4時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-1），
∵將點（0，-4）代入得；a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+3x-4．
∴拋物線的解析式為y=-x²-3x+4或y=x²+3x-4．
（3）如圖所示：當點P為與拋物線的頂點時，過點P作PD⊥x軸，垂足為D．

由x=-$\frac{2a}$可知拋物線的對稱軸方程為x=$-\frac{-4}{-2×2}$=-1．
∵將x=-1代入拋物線的解析式得y=2+c．
∴PD=2+c．
∴拋物線的頂點坐標為（-1，2+c）．
令x=0得，y=c．
∴OC=c．
∵使得S_△PAB=mS_△ABC的點P的個數(shù)為2個，
∴當點P為拋物線的頂點時，S_△PAB＜mS_△ABC．
∴PD＜mOC，即2+c＜mc．
整理得：c（m-1）＞2．
∴c，m的關(guān)系式為c（m-1）＞2．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角形的面積公式，明確當點P為拋物線的頂點且S_△PAB＜mS_△ABC時拋物線上存在2個點P使得S_△PAB=mS_△ABC是解題的關(guān)鍵．