Question

14．觀察下列算式：1²=$\frac{1×2×3}{6}$，1²+2²=$\frac{2×3×5}{6}$，1²+2²+3²=$\frac{3×4×7}{6}$，1²+2²+3²+4²=$\frac{4×5×9}{6}$，…，請(qǐng)用字母表示數(shù)，將你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律用一個(gè)等式表示出來：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開始的平方數(shù)的和，分母都是6，分子為最后一個(gè)數(shù)與比它大1的數(shù)的積再乘以比這個(gè)數(shù)的2倍大1的數(shù)的積．

解答 解：∵第1個(gè)式子為：1²=$\frac{1×2×3}{6}$，
第2個(gè)式子為：1²+2²=$\frac{2×3×5}{6}$，
第3個(gè)式子為：1²+2²+3²=$\frac{3×4×7}{6}$，
第4個(gè)式子為：1²+2²+3²+4²=$\frac{4×5×9}{6}$，
…，
∴第n個(gè)式子為：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
故答案為：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．