如圖，△ABC中，∠C=30°，以AB為直徑的圓O經(jīng)過BC邊上的點D，且∠AOD=120°．
（1）求證：AC是圓O的切線；
（2）若CD=6，點E是半圓上一點，且sin∠BAE=

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，求線段AE的長．

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F(xiàn)是OE的中點，如果BD∥CF，BC=2

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，則線段CD的長為．

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F(xiàn)是OE的中點．
（1）如果BD∥CF，求證：AE=5DE；
（2）在（1）的條件下，若BC=2

5

，求線段CD的長度．

如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．點P從點B以1cm/s的速度向點C運動，點Q從點C以2cm/s的速度向點A運動，兩點同時出發(fā)，運動的時間為t秒（0≤t≤5）．過點Q作直線QD∥BC，交AB于點D，連接PD、PQ．
（1）用含有t的代數(shù)式表示DQ的長；
（2）是否存在某一時刻t，使得△DPQ為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）以線段PC為直徑作⊙O．
①在運動過程中，求當(dāng)動點Q在⊙O內(nèi)部時t的取值范圍；
②連接OD，交線段PQ于點E，求點E恰好落在⊙O上時t的值．

如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC．過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q．
（1）求證：△ABC∽△OFB；
（2）當(dāng)△ABD與△BFO的面枳相等時，求BQ的長；
（3）求證：當(dāng)D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點．