Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE的中點(diǎn)．
（1）如果BD∥CF，求證：AE=5DE；
（2）在（1）的條件下，若BC=2

5

，求線段CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)HL證明△ABD≌△ACD，得BD=CD，根據(jù)垂徑定理，得BE=CE，且BC⊥AD，根據(jù)平行，得內(nèi)錯(cuò)角相等，從而根據(jù)ASA證明△BDE≌△CFE，得DE=EF，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)△CDE∽△ACE，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求解．

解答：解：（1）∵AD是⊙O直徑，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
又AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
由垂徑定理可得：BE=CE，且BC⊥AD．
∵BD∥CF，
∴△BDE≌△CFE，
∴CF=BD=CD．
又BC⊥AD，
∴E是DF中點(diǎn)，
又F是OE中點(diǎn)，
∴OF=FE=ED=

1

3

OA，即AE=5DE．

（2）∵BC=2

5

，由（1）知BE=CE=

5

，
由△CDE∽△ACE，可得CE²=DE×AE，
∴DE=1，AE=5
由△CDE∽△ACD，可得
CD²=DE×AD，即CD²=6，
∴CD=

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)．