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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1,AB＞1，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C₁，所爬的最短路程為2．

(1)求證：D₁E⊥A₁D；

(2)求AB的長度；

(3)若EB=時，求二面角D₁-EC-D的大小．

 

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第1卷

一、選擇題

1．D    2．B    3．B    4．C    5．A    6．C    7．B    8．A    9．D    10．C    11．A    12．A

第Ⅱ卷

二、填空題

13．

14．（理）（文）3x+3y－2=0

15．（－3，0）（3，+∞）

16．②④

三、解答題

17．（Ⅰ）這批食品不能出廠的概率是：

（Ⅱ）五項指標全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是：

五項指標全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是：

由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法公式可知，五項指標全部檢驗完畢，

才能確定這批食品出廠與否的概率是：

18．（Ⅰ）設f（x）＝ax+b（a≠0），則c的方程為：

      ①

由點（2，）在曲線c上，得1＝（2一b）．      ②

由①②解得a＝b＝1，∴曲線c的方程為y＝x－1．

（Ⅱ）由，點（n+1，）底曲線c上，有＝n

于是．?…?，

即

注意到a1＝1，所以a_n＝（n－1）!

（Ⅲ）

∴．

19．（甲）（Ⅰ）選取DA1、DC、DD1，分別為Ox、Oy、Oy軸建立空間直角坐標，易知E（0，0，），F(xiàn)（，，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），

，

＝0，

．

（Ⅱ）G（0，，－1），C_l（0，1，1），

．

（Ⅲ），

（乙）

（Ⅰ）用反證法易證B₁D₁與A₁D不垂直．

（Ⅱ）由余弦有cos∠AC₁D₁=

設AC₁=x，則

上

單調(diào)遞增．

（Ⅲ）∵A₁B₁∥C₁D₁，∴∠AC₁D₁為異面直線AC₁與A₁B₁所成角．

由余弦定理，有

設AC₁＝x，則

故AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍是

20．（理）解：

（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關(guān)于直線x－1＝0對稱，

∴f（x）＝g（2－x）．

，

f（x）＝g（2一x）＝－ax+2x³．

又f（x）是偶函數(shù)，∴

f（x）=f（－x）＝ax一2x³．

（Ⅱ）f（x）＝a－6x²，∵f（x）為[0，1]上的增函數(shù)．

∴f'（x）＝a－6x²≥0，

∴a≥6x²在上，恒成立．

∵x[0，1）時，6x²≤6，∴a≥6．

即a的取值范圍是[6，+∞）．

（Ⅲ）當a在[0，1）上的情形．

由f'（x）=0，得得a=6．此時x＝1

∴當a（－6，6）時，f（x）的最大值不可能是4．

（文）

（1）

（2）根據(jù)題意可得，

整理得（a^x－a）（a^x+a^－1）<0．

由于a>1，所以x<1．

即．

21．解：

（Ⅰ）∵|PF₁|一|PF₂|=2a，又|PF₁|＝3|PF₂|．

∴|PF₁|＝3a，|PF₂|＝a．

設F₁（－c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），由得3a=ex₀+a，則x₀=．

∵P在雙曲線右支上，∴x₁≥a，即≥a，解得

1<e≤2．

∴e的最大值為2，此時

∴漸近線方程為，

（Ⅱ）．

又．

∴．

又．

．

∴b²=C²－a²＝6．

∴雙曲線方程為．

22．（理）解：

（1）可求得f（x）＝．

由f（x）<f（1）得．

整理得（a^x－a）（a^x+a^―1）<0．

由于a>l，所以x<1．

（Ⅱ）

＝,

由，

，

即f（2）>2f（1）．

即f（3）>3f（1）．

（Ⅲ）更一般地，有：f（n）>nf（1）  （n ^*，n≥2）．

用數(shù)學歸納法證明，

①由（Ⅱ）知n＝2，3時，不等式成立．

②假設n＝k時，不等式成立，即f（k）>kf（1）．

．

這說明n＝k+1時，不等式也成立．

由①②可知，對于一切，均有f（x）>nf（1）．

（文）解：

（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關(guān)于直線x－1＝0對稱．

∴f（x）＝g（2－x），當x[－1，0]時，2一x[2，3]

f（x）＝g（2一x）＝一ax+2x³．

又∵f（x）是偶函數(shù)，∴x[0，1]時，一x[一1，0]

f（x）＝f（一x）＝ax一2x³．

（Ⅱ）上的增函數(shù)．

上恒成立

．

即a的取值范圍是[6，+∞]．

（Ⅲ）只考慮在[0，1）上的情形．

由．

∴當的最大值不可能是4．