Question

 如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知BC＝1，BB₁＝2，AB⊥平面BB₁C₁C.

(1)求直線C₁B與底面ABC所成角的正切值；

(2)在棱CC₁(不包括端點C、C₁)上確定一點E的位置，使EA⊥EB₁(要求說明理由)；

(3)在(2)的條件下，若AB＝，求二面角A－EB₁－A₁的大小．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：以B為坐標原點，BC、BB₁、AB所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,0)，C₁(1,2,0)，B₁(0,2,0)．

(1)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC的一個法向量為＝(0,2,0)，又＝(1,2,0)，設(shè)BC₁與平面ABC所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈，〉|＝，

∴tanθ＝2，即直線C₁B與底面ABC所成角的正切值為2.……………………3分

(2)設(shè)E(1，y,0)，A(0,0，z)，則＝(－1,2－y,0)，＝(－1，－y，z)，∵EA⊥EB₁，∴·＝1－y(2－y)＝0，∴y＝1，即E(1,1,0)，∴E為CC₁的中點．

……………………6分

(3)由題知A(0,0，)，則＝(1,1，－)，＝(1，－1，0)，設(shè)平面AEB₁的一個法向量為n＝(x₁，y₁，z₁)，則

∴

令x₁＝1，則n＝(1,1，)

∵＝(1,1,0)，

∴·＝＝0.

∴BE⊥B₁E.又BE⊥A₁B₁，

∴BE⊥平面A₁B₁E.

∴平面A₁B₁E的一個法向量為BE＝(1,1,0)

∴cos〈n，〉＝＝.

∴二面角A－EB₁－A₁的大小為45°.…………………………………………………10分