如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,點E在棱AB上移動,小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C1,所爬的最短路程為2

(1)求證:D1E⊥A1D;

(2)求AB的長度;

(3)若EB=時,求二面角D1-EC-D的大。

 

解法一:(1)證明:連結(jié)AD1,由長方體的性質(zhì)可知:

AE⊥平面AD1,∴AD1是ED1在平面AD1內(nèi)的射影.

又∵AD=AA1=1,  ∴AD1⊥A1D

∴D1E⊥A1D1(三垂線定理) 

(2)設(shè)AB=x,∵四邊形ADD1A是正方形,

∴小螞蟻從A點且沿長方體的表面爬到點C1可能有兩種途徑,如圖甲的最短路程為|AC1|=

如圖乙的最短路程為|AC1|=

∵x>1    ∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4

  ∴x=2

(3)過點D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC,連結(jié)D1H,則∠D1HD為二面角D1-EC-D的平面角,

∵DD1=1  EB=  在Rt△EBC內(nèi),可得EC=2,而EC·DH=DC·AD  解得DH=1.

∴tan∠D1HD=

解法二:(1)如圖建立空間坐標(biāo)系

設(shè)AE=a,

則E(1,a,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),

=(1,0,1),=(1,a,-1)

·=1×1+0×a+1×(-1)=0

∴D1E⊥A1D

(2)同解法一

(3)假設(shè)存在,平面DEC的法向量n1=(0,0,1)

=(0,2,-1)

設(shè)平面D1EC的法向量n2=(x,y,z),則

  即,解得:

∴n2=(,1,2)(12分)

由題意得:cos<n1,n2>=

 ∴二面角D1-EC-D的大小為

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如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐A1-ABC的面是直角三角形的個數(shù)為:
4
4

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若一個n面體中有m個面是直角三角形,則稱這個n面體的直度為.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A.         B.               C.                 D.1

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若一個n面體中有m個面是直角三角形,則稱這個n面體的直度為.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A.            B.              C.              D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題

(文科做)(本題滿分14分)如圖,在長方體

ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.

(1)證明:D1EA1D;

(2)當(dāng)EAB的中點時,求點E到面ACD1的距離;

(3)AE等于何值時,二面角D1ECD的大小為.                      

 

 

 

(理科做)(本題滿分14分)

     如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB = 90°,CB = 1,

CA =AA1 =,M為側(cè)棱CC1上一點,AMBA1

   (Ⅰ)求證:AM⊥平面A1BC;

   (Ⅱ)求二面角BAMC的大;

   (Ⅲ)求點C到平面ABM的距離.

 

 

 

 

 

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