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在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名。
（1）、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？
（2）、若該校計(jì)劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？
可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

 

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一、選擇題：本大題共有12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)正確的

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

C

D

D

A

B

B

C

B

A

C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

13．（1，0）     14．       15．1      16．②③

三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）

   解：（Ⅰ）由

        ……………………………………4分

     又因?yàn)?sub>

     解得…………………………………………5分

     ………………………………………6分

（Ⅱ）在，

        �！�…………………………………………9分

，

即,

又由（Ⅰ）知

故取得最大值時，為等邊三角形. …………………………12分

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)抽取的樣本為名學(xué)生的成績，

則由第一行中可知

；

②處的數(shù)值為;

③處的數(shù)值為…………4分

   （Ⅱ）成績在[70，80分的學(xué)生頻率為0.2，成績在[80.90分的學(xué)生頻率為0.32，

所以成績在[70.90分的學(xué)生頻率為0.52，……………………………………6分

由于有900名學(xué)生參加了這次競賽，

所以成績在[70.90分的學(xué)生約為（人）………………8分

   （Ⅲ）利用組中值估計(jì)平均為

…………12分

19．（本小題滿分12分）

解：（I）由幾何體的三視圖可知，低面ABCD是邊長為4的正方形，

，…………………………………3分

且,

………………6分

   （Ⅱ）連，

，

°

°

………………10分

又

……………………………………………………………………12分

20．（本小題滿分12分）

解：（I）10年后新建住房總面積為

    �！�……………………3分

    設(shè)每年拆除的舊住房為………………5分

    解得,即每年拆除的舊住房面積是…………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)第年新建住房面積為，則=

所以當(dāng)；…………………………………………9分

當(dāng)

故……………………………………12分

21．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以為頂點(diǎn)的三角形，因?yàn)?sub>，

    故，

    為直徑的圓，

    故其方程為………………………………………………3分

    設(shè)橢圓的方程為，

    又.

    故橢圓………………………………………5分

   （Ⅱ）直線始終與圓相切。

    設(shè)。

    當(dāng)。

    若

                ；

    若

                 ；

    即當(dāng)……………………………7分

    當(dāng)時，，

    。

    因此，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。

    ……………10分

    當(dāng)，

    。

    綜上，當(dāng),…………12分

22．（本小題滿分14分）

解：（I）（1），

    �！�………………………………………1分

    處取得極值，

    …………………………………………………2分

    即

    ………………………………………4分

   （ii）在，

    由

           ，

    ；

    當(dāng);

    ;

    .……………………………………6分

    面

    ，

    且

    又

    ，

    ……………9分

   （Ⅱ）當(dāng)，

    ①；

    ②當(dāng)時，

    ，

    ③，

    從面得;

    綜上得，.………………………14分