Question

在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,100).已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名.

（1）試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？

（2）若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表φ(x₀)=p(x＜x₀)

x0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9915
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9278	0.9292	0.9306	0.9316
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9762	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9380	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857

Answer 1

思路解析：本小題主要考查正態(tài)分布，對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解：（1）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為ξ，因?yàn)棣巍玁(70,100),由條件知，

P(ξ≥90)=1-P（ξ＜90）=1-F(90)=1-φ()=1-φ(2)=1-0.977 2=0.228.

這說明成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526（人）.

（2）假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則

P(ξ≥x)=1-P（ξ＜x）=1-F(x)=1-φ(x-)==0.095 1，

即φ()=0.904 9，查表得≈1.31，解得x=83.1.

故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分.