如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B₁C₁E與直線AA₁的交點(diǎn).
（1）證明：（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁與平面B₁C₁EF所成的角的正弦值.

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如圖，已知ABCD為矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
（1）右圖中指定的方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)畫(huà)出該幾何體的正視圖和側(cè)視圖；
（2）求三棱錐C-DED₁的體積；
（3）求證：平面DED₁⊥平面D₁EC．

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如圖，已知ABCD為矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
（1）右圖中指定的方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)畫(huà)出該幾何體的正視圖和側(cè)視圖；
（2）求三棱錐C-DED₁的體積；
（3）求證：平面DED₁⊥平面D₁EC．

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如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，AA₁⊥底面ABCD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E、F分別是側(cè)棱BB₁、CC₁上一點(diǎn)，BE=1，CF=2，平面AEF與側(cè)棱DD₁相交于G．
（1）證明：平面AEFG⊥平面BB₁C₁C；
（2）求線段CG與平面AEFG所成角的正弦值；
（3）求以C為頂點(diǎn)，四邊形AEFG在對(duì)角面BB₁D₁D內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng).

（1）C    （2）B    （3）D    （4）C     （5）B    （6）B   

（7）A    （8）C    （9）B    （10）D   （11）A    （12）B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 答案填在題中橫線上.

13. 如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)     假     14.   15. 0     16.

三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17． 解：（Ⅰ）………2分

………4分

………6分

 （II）

   ……8分

的圖象與x軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為  ………10分

所以的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積

=    …12分

18． 解：（Ⅰ）設(shè)搖獎(jiǎng)一次，獲得一、二、三、四、五等獎(jiǎng)的事件分別記為.

則其概率分別為……3分

設(shè)搖獎(jiǎng)一次支出的學(xué)習(xí)用品相應(yīng)的款項(xiàng)為，則的分布列為：

1

2

3

4

5

.………6分

若捐款10元者達(dá)到1500人次，那么購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)為（元）,

除去購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)后，剩余款項(xiàng)為（元）,

故剩余款項(xiàng)可以幫助該生完成手術(shù)治療. ………8分

（II）記事件“學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品”為，則.

即學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品的概率為………12分

19． 以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）. …  3分

（Ⅰ）證明：設(shè)則有所以，，∴平面；………6分

（II）解：

設(shè)為平面的法向量，

于是………8分

同理可以求得平面的一個(gè)法向量，………10分

  ∴二面角的余弦值為. ………12分

20． 解：（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，切點(diǎn)是的切線方程是.…2分

當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即，得;

當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即，得.

所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.………4分

（II）當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和=

同乘以，得=兩式相減，…………8分

得=，

所以=.………12分

21．解：（Ⅰ）由于所以

………2分

令,

當(dāng)a=2時(shí)，

所以2－a≠0.

①     當(dāng)2－a>0，即a<2時(shí)，的變化情況如下表1：

x

0

(0,2－a)

2－a

(2－a,+∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

此時(shí)應(yīng)有f(0)=0，所以a=0<2；

②當(dāng)2－a<0，即a>2時(shí)，的變化情況如下表2：

x

2－a

(2－a,0)

0

(0,+∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

此時(shí)應(yīng)有

而

綜上可知，當(dāng)a=0或4時(shí)，的極小值為0. ………6分

（II）若a<2，則由表1可知，應(yīng)有 也就是

設(shè)

由于a<2得

所以方程  無(wú)解. ………8分

若a>2，則由表2可知，應(yīng)有f(0)=3，即a=3. ………10分

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，f(x)的極大值為3. ………12分

22. 解：（Ⅰ）由得，；……4分

由直線與圓相切，得，所以，。所以橢圓的方程是.……4分

（II）由條件知，，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線：的距離，由拋物線的定義得點(diǎn)的軌跡的方程是.  ……8分

（III）由（2）知，設(shè)，，所以，.

由，得.因?yàn)?sub>，化簡(jiǎn)得，……10分

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）. ……12分    ，又

所以當(dāng)，即時(shí)，，故的取值范圍是.14分