上海市楊浦區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三學(xué)科測(cè)試

數(shù)學(xué)理科試卷                  　　2009.4

   （滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

考生注意：

本試卷包括試題紙和答題紙兩部分．在本試題紙上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題．可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題．

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，每題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果．

1．直線的傾斜角為       ．

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2．已知全集，集合，，

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則=       ．

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3．若復(fù)數(shù)滿足 (其中是虛數(shù)單位)，則=       ．

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4．二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)的值是       ．

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5．市場(chǎng)上有一種“雙色球”福利彩票，每注售價(jià)為2元，中獎(jiǎng)

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概率為6.71%，一注彩票的平均獎(jiǎng)金額為14.9元．如果小王購(gòu)

買(mǎi)了10注彩票，那么他的期望收益是       元．

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6．把化為積的形式，其結(jié)果為       ．

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7．已知是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

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的最大值是       ．

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8．已知（），則的值是       ．

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9．如圖是輸出某個(gè)數(shù)列前10項(xiàng)的框圖，則該數(shù)列第3項(xiàng)

的值是       ．

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10. 在極坐標(biāo)系中,過(guò)圓的圓心,且垂直于極軸的

直線的極坐標(biāo)方程是       ．

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11．如圖，用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知

球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體積是   　    cm3.

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12．在△中，，，是邊的中點(diǎn)，則的值

是       .

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．每題只有一個(gè)正確答案，選擇正確答案的字母代號(hào)并按照要求填涂在答題紙的相應(yīng)位置．

13．線性方程組的增廣矩陣是………………………………………………（    ）．

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A．    B．    C．     D．

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14．在直角坐標(biāo)系中，已知△的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓

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上，則的值是…………………………………………………………………（    ）．

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A．                       B．                       C．2                     D．4

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15. 以依次表示方程的根，則的大小順

序?yàn)椤?nbsp;   ）．

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A．                B．              C．         D．

 

 

 

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16．已知數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)，，設(shè)表示數(shù)列

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的前項(xiàng)和．下列關(guān)于的結(jié)論，正確的是……………………………………（    ）．

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A．                                     B．  

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C．（）    D．以上結(jié)論都不對(duì)

 

 

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三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E.

17．(本題滿分12分)

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文本框: x動(dòng)物園要建造一面靠墻的2間面積相同的長(zhǎng)方形熊貓居室（如圖所

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示）．如果可供建造圍墻的材料長(zhǎng)是30米，那么寬為多少米時(shí)才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方米？

 

 

18. (本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.

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在長(zhǎng)方體中，，，．求：

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（1）頂點(diǎn)到平面的距離；

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（2）二面角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

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19．(本題滿分15分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，

第3小題滿分8分.

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設(shè)數(shù)列的前和為，已知，，，，

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一般地，（）．

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（1）求；

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（2）求；

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（3）求和：．

 

 

 

 

 

 

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20．(本題滿分15分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分10分.

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已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（）．

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（1）若，試求的取值范圍；

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（2）若，求函數(shù)的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，

第3小題滿分7分.

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已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．

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（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過(guò)點(diǎn)且斜率1的直線相交于點(diǎn)P(4，4)，求直線AB的斜率；

（2）問(wèn)題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線G，過(guò)該圓錐曲線上的

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相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；

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（3）線段AB（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)．若，試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長(zhǎng)度，并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

 

 

 

上海市楊浦區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三學(xué)科測(cè)試

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說(shuō)明

    1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.

    2. 評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.

    3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).

    4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

 

1．；   2．；   3．；   4．；   5．（理）元；（文）0.7；

6．（理）； （文）200赫茲；   7．（理）5；  （文）p=4．

8．（理）； （文）

9．；    10．（理）；  （文）方程為．

11．（理）；  （文）；    12．12．

 

13――16：A；  C ；  C；  理B文A

 

17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因?yàn)?sub>，而當(dāng)時(shí)，取得最大值75． 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

解法2：=75，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值75．                        …… 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

 

18．理：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、．                                  ……2分

設(shè)平面的法向量為，則，．

因?yàn)?sub>，，                          ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個(gè)法向量，且．                                                     ……5分

（1）在平面取一點(diǎn)，可得，于是頂點(diǎn)到平面的距離，所以頂點(diǎn)到平面的距離為，         ……8分

（2）因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，設(shè)與的夾角為a，則

，                                        ……12分

結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個(gè)銳角，它的大小為．……14分

 

文：（1）圓錐底面積為 cm2，                                        ……1分

設(shè)圓錐高為cm，由體積，                               ……5分

由cm3得cm；                                         ……8分

（2）母線長(zhǎng)cm，                                             ……9分

設(shè)底面周長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積=，                          ……12分

所以該圓錐的側(cè)面積=cm2．                                     ……14分

 

19．（理）（1）；                                          ……3分

（2）當(dāng)時(shí)，（）

， ……6分

所以，（）．                                      ……8分

（3）與（2）同理可求得：，                       ……10分

設(shè)=，

則，（用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法），相減得

，所以

．                          ……14分

 

（文）（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則．     ……3分

（2）公比，所以由無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式得：

數(shù)列各項(xiàng)的和為=1．                                     ……7分

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=

；                                           ……11分

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=．    ……14分

即．                   ……15分

 

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是．      ……5分

（2），令，則，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，8分

由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；                                             ……11分

下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．

[當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因?yàn)?sub>，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．]

于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．                               ……15分

 

21．（1）由解得；由解得．

由點(diǎn)斜式寫(xiě)出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為．                                   ……4分

（2）推廣的評(píng)分要求分三層

一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問(wèn)題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-k 1的直線，與過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線（4分，問(wèn)題與解答各占2分）

例：4．已知點(diǎn)R是拋物線上的定點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

三層:滿分（對(duì)拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法．）（7分，問(wèn)題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

過(guò)點(diǎn)P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。

 由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為。

（3）（理）點(diǎn)，設(shè)，則．

設(shè)線段的中點(diǎn)是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點(diǎn)在直線上，所以，而，于是．                                                       ……13分

 (斜率，則--------------------------------13分)

線段所在直線的方程為，                  ……14分

代入，整理得               ……15分

，。設(shè)線段長(zhǎng)為，則

=

                               ……16分

因?yàn)?sub>，所以                ……18分

即：．（）   

 

（文）設(shè)，則

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