題目列表(包括答案和解析)
(本大題滿分18分)本大題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿6分,第3小題滿8分.
已知集合具有性質(zhì):對任意,與至少一個屬于.
(1)分別判斷集合與是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)①求證:;
②求證:;
(3)研究當(dāng)和時,集合中的數(shù)列是否一定成等差數(shù)列.
(本題共3小題,滿分18分。第1小題滿分4分,第2小題滿分7分,第3小題7分)
對定義在上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù).
① 對任意的,總有;
② 當(dāng)時,總有成立.
已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)是否為函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)是函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使方程恰有兩解?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分。
已知是公差為的等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列。
(1) 若,是否存在,有說明理由;
(2) 找出所有數(shù)列和,使對一切,,并說明理由;
(3) 若試確定所有的,使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項,請證明。
(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,
第3小題滿分8分.
已知數(shù)列:,,,(是正整數(shù)),與數(shù)列:,,,,(是正整數(shù)).記.
(1)若,求的值;
(2)求證:當(dāng)是正整數(shù)時,;
(3)已知,且存在正整數(shù),使得在,,,中有4項為100.
求的值,并指出哪4項為100.
說明
1. 本解答列出試題的一種或幾種解法,如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分.
2. 評閱試卷,應(yīng)堅持每題評閱到底,不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤,影響了后繼部分,但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時,可視影響程度決定后面部分的給分,這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半,如果有較嚴(yán)重的概念性錯誤,就不給分.
3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).
4. 給分或扣分均以1分為單位.
答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
1.; 2.; 3.; 4.; 5.(理)元;(文)0.7;
6.(理); (文)200赫茲; 7.(理)5; (文)p=4.
8.(理); (文)
9.; 10.(理); (文)方程為.
11.(理); (文); 12.12.
13――16:A; C ; C; 理B文A
17.設(shè)熊貓居室的總面積為平方米,由題意得:.… 6分
解法1:,因為,而當(dāng)時,取得最大值75. 10分
所以當(dāng)熊貓居室的寬為
解法2:=75,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最大值75. …… 10分
所以當(dāng)熊貓居室的寬為
18.理:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、. ……2分
設(shè)平面的法向量為,則,.
因為,, ……3分
,,
所以解得,取,得平面一個法向量,且. ……5分
(1)在平面取一點(diǎn),可得,于是頂點(diǎn)到平面的距離,所以頂點(diǎn)到平面的距離為, ……8分
(2)因為平面的一個法向量為,設(shè)與的夾角為a,則
, ……12分
結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個銳角,它的大小為.……14分
文:(1)圓錐底面積為 cm2, ……1分
設(shè)圓錐高為cm,由體積, ……5分
由cm3得cm; ……8分
(2)母線長cm, ……9分
設(shè)底面周長為,則該圓錐的側(cè)面積=, ……12分
所以該圓錐的側(cè)面積=cm2. ……14分
19.(理)(1); ……3分
(2)當(dāng)時,()
, ……6分
所以,(). ……8分
(3)與(2)同理可求得:, ……10分
設(shè)=,
則,(用等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法),相減得
,所以
. ……14分
(文)(1)設(shè)數(shù)列前項和為,則. ……3分
(2)公比,所以由無窮等比數(shù)列各項的和公式得:
數(shù)列各項的和為=1. ……7分
(3)設(shè)數(shù)列的前項和為,當(dāng)為奇數(shù)時,=
; ……11分
當(dāng)為偶數(shù)時,=. ……14分
即. ……15分
20.(1)即,又,2分
所以,從而的取值范圍是. ……5分
(2),令,則,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,8分
由解得,所以當(dāng)時,函數(shù)的最小值是; ……11分
下面求當(dāng)時,函數(shù)的最小值.
當(dāng)時,,函數(shù)在上為減函數(shù).所以函數(shù)的最小值為.
[當(dāng)時,函數(shù)在上為減函數(shù)的證明:任取,,因為,,所以,,由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù).]
于是,當(dāng)時,函數(shù)的最小值是;當(dāng)時,函數(shù)的最小值. ……15分
21.(1)由解得;由解得.
由點(diǎn)斜式寫出兩條直線的方程,,
所以直線AB的斜率為. ……4分
(2)推廣的評分要求分三層
一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般(3分,問題1分、解答2分)
例:1.已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線,與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P,求直線AB的斜率;
2.已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)且斜率為-k 1的直線,與過點(diǎn)且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
3.已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線,與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P,求直線AB的斜率; AB的斜率的值.
二層:兩個一般或推廣到其它曲線(4分,問題與解答各占2分)
例:4.已知點(diǎn)R是拋物線上的定點(diǎn).過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計算直線AB的斜率.
三層:滿分(對拋物線,橢圓,雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法.)(7分,問題3分、解答4分)
例如:5.已知拋物線上有一定點(diǎn)P,過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計算直線AB的斜率.
過點(diǎn)P(),斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為,,其中。
由得,所以
同理,把上式中換成得,所以
當(dāng)P為原點(diǎn)時直線AB的斜率不存在,當(dāng)P不為原點(diǎn)時直線AB的斜率為。
(3)(理)點(diǎn),設(shè),則.
設(shè)線段的中點(diǎn)是,斜率為,則=.12分
所以線段的垂直平分線的方程為,
又點(diǎn)在直線上,所以,而,于是. ……13分
(斜率,則--------------------------------13分)
線段所在直線的方程為, ……14分
代入,整理得 ……15分
,。設(shè)線段長為,則
=
……16分
因為,所以 ……18分
即:.()
(文)設(shè),則
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