2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(必修+選修Ⅰ)

 

       本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至2頁,第II卷3至9頁.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

第Ⅰ卷

考生注意:

       1.答題前,考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚 ,并貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.

       2.每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效

       3.本卷共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

參考公式:

       如果事件互斥,那么                                    球的表面積公式

                                                  

       如果事件相互獨立,那么                             其中表示球的半徑

                                                 球的體積公式

       如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么         

       次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率               其中表示球的半徑

 

 

一、選擇題

1.函數(shù)的定義域為(    )

A.                         B.

C.                 D.

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2.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù),其圖像可能是(    )

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3.在中,,.若點滿足,則(    )

A.                     B.               C.               D.

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4.設(shè),且為正實數(shù),則(    )

A.2             B.1              C.0              D.

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5.已知等差數(shù)列滿足,,則它的前10項的和(    )

A.138          B.135          C.95            D.23

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6.若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則(    )

A.              B.          C.              D.

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7.設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直,則(    )

A.2             B.           C.         D.

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8.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像(    )

A.向左平移個長度單位                    B.向右平移個長度單位

C.向左平移個長度單位                 D.向右平移個長度單位

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9.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為(    )

A.                 B.

C.             D.

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10.若直線通過點,則(    )

A.          B.          C.         D.

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11.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值等于(    )

A.           B.         C.              D.

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12.如圖,一環(huán)形花壇分成四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為(    )

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A.96            B.84            C.60            D.48

 

 

 

 

 

 

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(必修選修Ⅰ)

第Ⅱ卷

 

注意事項:

試題詳情

1.答題前,考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚,然后貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.

試題詳情

2.第Ⅱ卷共7頁,請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,在試題卷上作答無效

試題詳情

3.本卷共10小題,共90分.

 

(注意:在試題卷上作答無效

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二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上.

13.若滿足約束條件則的最大值為          

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14.已知拋物線的焦點是坐標原點,則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為           

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15.在中,,.若以為焦點的橢圓經(jīng)過點,則該橢圓的離心率           

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16.等邊三角形與正方形有一公共邊,二面角的余弦值為,分別是的中點,則所成角的余弦值等于         

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三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

(注意:在試題卷上作答無效

設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為,且.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最大值.

 

 

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18.(本小題滿分12分)

(注意:在試題卷上作答無效

四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,,,.

(Ⅰ)證明:;

(Ⅱ)設(shè)與平面所成的角為,求二面角的大。

 

 

 

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19.(本小題滿分12分)

(注意:在試題卷上作答無效

已知函數(shù),.

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求的取值范圍.

 

 

試題詳情

20.(本小題滿分12分)

(注意:在試題卷上作答無效

已知5只動物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物,呈陰性即沒患。旅媸莾煞N化驗方法:

方案甲:逐個化驗,直到能確定患病動物為止.

方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗.若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只,然后再逐個化驗,直到能確定患病動物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.

(Ⅰ)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率;

(Ⅱ)表示依方案乙所需化驗次數(shù),求的期望.

 

 

試題詳情

21.(本小題滿分12分)

(注意:在試題卷上作答無效

雙曲線的中心為原點,焦點在軸上,兩條漸近線分別為,經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點.已知成等差數(shù)列,且與同向.

(Ⅰ)求雙曲線的離心率;

(Ⅱ)設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.

 

 

試題詳情

22.(本小題滿分12分)

(注意:在試題卷上作答無效

設(shè)函數(shù).數(shù)列滿足,.

(Ⅰ)證明:函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù);

(Ⅱ)證明:;

(Ⅲ)設(shè),整數(shù).證明:.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

試題詳情

 

1. C.      由

2. A.     根據(jù)汽車加速行駛,勻速行駛,減速行駛結(jié)合函數(shù)圖像可知;

3. A.       由,,;

4. D.              ;

5. C.      由;

6. B.              由;

7.D.        由;

8.A.        只需將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像.

9.D.由奇函數(shù)可知,而,則,當時,;當時,,又在上為增函數(shù),則奇函數(shù)在上為增函數(shù),.

10.D.由題意知直線與圓有交點,則.

另解:設(shè)向量,由題意知

由可得

11.C.由題意知三棱錐為正四面體,設(shè)棱長為,則,棱柱的高(即點到底面的距離),故與底面所成角的正弦值為.

另解:設(shè)為空間向量的一組基底,的兩兩間的夾角為

長度均為,平面的法向量為,

則與底面所成角的正弦值為.

12.B.分三類:種兩種花有種種法;種三種花有種種法;種四種花有種種法.共有.

13.答案:9.如圖,作出可行域,

作出直線,將平移至過點處

時,函數(shù)有最大值9.

14. 答案:2.由拋物線的焦點坐標為

為坐標原點得,,則

與坐標軸的交點為,則以這三點圍成的三角形的面積為

15.答案:.設(shè),則

16.答案:.設(shè),作

,則,為二面角的平面角

,結(jié)合等邊三角形

與正方形可知此四棱錐為正四棱錐,則

,

故所成角的余弦值

 

則點,

,

則,

故所成角的余弦值.

17.解析:(Ⅰ)在中,由正弦定理及

可得

即,則;

(Ⅱ)由得

當且僅當時,等號成立,

18.解:(1)取中點,連接交于點,

,,

又面面,面,

,

,,即,

面,.

(2)在面內(nèi)過點作的垂線,垂足為.

,,面,,

則即為所求二面角的平面角.

,,,

,則,

,即二面角的大。

19. 解:(1)求導:

當時,,,在上遞增

當,求得兩根為

即在遞增,遞減,

遞增

(2),且解得:

 20.解:(Ⅰ)解:設(shè)、分別表示依方案甲需化驗1次、2次。

   、表示依方案乙需化驗2次、3次;

   表示依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)。

  依題意知與獨立,且

(Ⅱ)的可能取值為2,3。

;

∴(次)

 

21. 解:(Ⅰ)設(shè),,

由勾股定理可得:

得:,,

由倍角公式,解得,則離心率.

(Ⅱ)過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立

將,代入,化簡有

將數(shù)值代入,有,解得

故所求的雙曲線方程為。

22. 解析:

(Ⅰ)證明:,

故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù);

(Ⅱ)證明:(用數(shù)學歸納法)(i)當n=1時,,,

由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù),且函數(shù)在處連續(xù),則在區(qū)間是增函數(shù),,即成立;

(?)假設(shè)當時,成立,即

那么當時,由在區(qū)間是增函數(shù),得

.而,則,

,也就是說當時,也成立;

根據(jù)(?)、(?)可得對任意的正整數(shù),恒成立.

 (Ⅲ)證明:由.可得

1, 若存在某滿足,則由⑵知:

2, 若對任意都有,則

,即成立.

 

 

 

 

 

 


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