奉賢區(qū)2009年高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科卷）2009.03

（完卷時(shí)間：120分鐘    滿分：150分）

命題人員：陶慰樹、張建權(quán)、姚志強(qiáng)

一、填空題：（共55分，每小題5分）

1、方程的解是               。

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2、不等式的解集為               。

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3、已知復(fù)數(shù)z＝－i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=               。

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4、在極坐標(biāo)系中，是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則三角形OAB的面積為       

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5、若的二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a的值為       ．

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6、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取不重復(fù)的3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則組成的三位數(shù)是奇數(shù)的概率是                          。（用分?jǐn)?shù)表示）

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7、關(guān)于函數(shù)有下列命題：

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①的定義域是；②是偶函數(shù)；③在定義域內(nèi)是增函數(shù)；④的最大值是，最小值是。其中正確的命題是              。（寫出你所認(rèn)為正確的所有命題序號(hào)）

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8、已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為                  。

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9、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，前n項(xiàng)和為，若，則公比為的取值范圍是                  。

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10、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，若對(duì)滿足條件，不等式恒成立，則的取值范圍是                      。

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11、現(xiàn)有31行67列表格一個(gè)，每個(gè)小格都只填1個(gè)數(shù)，從左上角開始，第一行依次為1，2，…67；第二行依次為68，69…134；…依次把表格填滿�，F(xiàn)將此表格的數(shù)按另一方式填寫，從左上角開始，第一列從上到下依次為1，2…，31；第二列從上到下依次為32，33，…，62；…依次把表格填滿。對(duì)于上述兩種填法，在同一小格里兩次填寫的數(shù)相同，這樣的小格在表格中共有_________個(gè)。

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二、選擇題：（共20分，每小題5分）

12、條件p：不等式的解；條件q：不等式的解。則p是q的????????????????????????（      ）

A、充分非必要條件；  B、必要非充分條件；

C、充要條件；        D、非充分非必要條件。

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13、如圖給出了一個(gè)算法流程圖，該算法流程圖的功能是（     ）

A、求三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)

B、求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)

C、按從小到大排列

D、按從大到小排列

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14、在正方體中，點(diǎn)E在A1C1上，且，則???????（   ）。

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（A），（B），

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（C），（D）.

 

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15、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意D，存在唯一的D使＝c（c為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)在D上“與常數(shù)c關(guān)聯(lián)”。

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現(xiàn)有函數(shù)：①；②；③；④，其中滿足在其定義域上“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)”的所有函數(shù)是      -----（      ）

 （A） ①②  （B） ③④  （C） ①③④  （D） ①③ 

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三、簡(jiǎn)答題（75分）

16、（本題12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）

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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求異面直線B1C1與AC所成角的大��；

(2)若直線A1C與平面ABC所成角為45°,

求三棱錐A1-ABC的體積.

 

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17、（本題14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

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已知函數(shù)

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（1）將寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；

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（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為，試求角的范圍及此時(shí)函數(shù)的值域.

 

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18、（本題14分，第（1）小題5分，第（2）小題9分）

某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80ㄇ出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券:

消費(fèi)金額(元)的范圍

[200,400)

[400,500)

[500,700)

[700,900)

…

獲得獎(jiǎng)券的金額(元)

30

60

100

130

…

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根據(jù)上述促銷方法,顧客在該商場(chǎng)購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如：購買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為：400×0.2+30=110（元）。設(shè)購買商品的優(yōu)惠率= 。

試問：

（1）       購買一件標(biāo)價(jià)為1000的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？

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（2）       對(duì)于標(biāo)價(jià)在[500,800)（元）內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？

 

 

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19、（本題16分，第（1）小題4分，第（2）小題7分，第（3）小題5分）

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已知點(diǎn)集，其中，，點(diǎn)列在L中，為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1，。

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（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（2）若＝，令；試用解析式寫出關(guān)于的函數(shù)。

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（3）若＝，給定常數(shù)m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

 

 

 

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20、（本題19分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題9分）

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已知：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，若記點(diǎn)P的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程。

（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB。求證：直線L過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

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（3）試?yán)盟鶎W(xué)圓錐曲線知識(shí)參照（2）設(shè)計(jì)一個(gè)與直線過定點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答所提問題。

（本小題將根據(jù)你所設(shè)計(jì)問題的不同思維層次予以不同評(píng)分）

 

 

 

 

 

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一、填空題 (每題5分)

1)  2)  3)0  4)   5)   6)   7）②④  8） 9） 10）  11）7

二、選擇題(每題5分)

12、A  13、B   14、D   15、D

三、解答題

16、16、

（1）因?yàn)?sub>，所以∠BCA（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角         -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以，     -------(2分)

即異面直線與所成角大小為。      -------(1分)

（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，，所以即為直線A1C與平面ABC所成角，所以。            -------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到，    -------(2分)

 

所以               -------(2分)

 

17、         -------(1分)

    =           -------(1分)

=                   -------(1分)

若為其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即=0，         -------(1分)

，                    -------(1分)

解得：         -------(1分)

 （2），        -------(2分)

即，而，所以。                 -------(2分)

，，               -------(2分)

所以                             ------(2分)

 

18、，顧客得到的優(yōu)惠率是。         -------(5分)

(2)、設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元，則500≤x≤800                         ----- -(2分)

消費(fèi)金額：  400≤0.8x≤640

由題意可得：

（1）≥       無解                                 ------(3分)

或（2） ≥        得：625≤x≤750                    ------(3分)

 

因此，當(dāng)顧客購買標(biāo)價(jià)在元內(nèi)的商品時(shí)，可得到不小于的優(yōu)惠率。------(1分)

 

 

19、（1）y＝? ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1                 -----(1分)

與軸的交點(diǎn)為，所以；           -----(1分)

所以，即，                         -----(1分)

因?yàn)?sub>在上，所以，即    -----(1分)

（2）設(shè) （），

即 （）         ----(1分)

（A）當(dāng)時(shí)，

                                                     ----(1分)

==，而，所以              ----(1分)

（B）當(dāng)時(shí)，   ----(1分)

= =，                        ----(1分)

而，所以                                       ----(1分)

因此（）                              ----(1分)

 

（3）假設(shè)，使得 ，

（A）為奇數(shù)

（一）為奇數(shù)，則為偶數(shù)。則，。則，解得：與矛盾。                   ----(1分)

（二）為偶數(shù)，則為奇數(shù)。則，。則，解得：（是正偶數(shù)）。           ----(1分)

（B）為偶數(shù)

（一）為奇數(shù)，則為奇數(shù)。則，。則，解得：（是正奇數(shù)）。             ----(1分)

（二）為偶數(shù)，則為偶數(shù)。則，。則，解得：與矛盾。           ----(1分)

由此得：對(duì)于給定常數(shù)m()，這樣的總存在；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，。                 ----(1分)

 

20、（1）解法（A）：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。              ----(1分)

由拋物線定義得：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)直線＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，              ----(1分)

拋物線方程為。                             ----(2分) 

解法（B）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則。當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：，顯然，而，此時(shí)曲線不存在。當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：。

（2），

，

，               ----(1分)

，

，即，，           ----(2分)

直線為，所以                      ----(1分)

                         ----(1分)

由（a）（b）得：直線恒過定點(diǎn)。                        ----(1分)

1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求證：OA⊥OB    （評(píng)分：提出問題得1分，解答正確得1分）

（若，求證：?=0，得分相同）

2、（簡(jiǎn)單推廣命題）如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB。求證：直線L過定點(diǎn)（2p，0）

或：它的逆命題（評(píng)分：提出問題得2分，解答正確得1分）

3、（類比）

3．1（1）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其右頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)

3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其左頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)

3．1（3）或它的逆命題

3．2（1）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其右頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)(a≠b)

3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其左頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)(a≠b)

3．2（3）或它的逆命題

（評(píng)分：提出問題得3分，解答正確得3分）

4、（再推廣）

直角頂點(diǎn)在圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)

如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)，P是拋物線上一定點(diǎn)(,)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(diǎn)(＋2p,－)

（評(píng)分：提出問題得4分，解答正確得3分）

5、（再推廣）

如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)，P是拋物線上一定點(diǎn)(,)，PA與PB的斜率乘積是常數(shù)m。求證：直線L過定點(diǎn)(－,－)

（評(píng)分：提出問題得5分，解答正確得4分）

 

或?為常數(shù)

頂點(diǎn)在圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數(shù)或?為常數(shù)

 

 

 

 


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