1．復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位的實(shí)部是

A．           B．         C．           D．

2.已知等差數(shù)列的公差為，且，若，則為

A．           B.           C．          D.

3.已知直線⊥平面，直線平面，下面有三個(gè)命題：

①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥； 則真命題的個(gè)數(shù)為

A．            B．          C．        　D．

4．如右圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖

都是邊長(zhǎng)為的正三角形,其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是

A．      B.    C．        D.

5．設(shè)點(diǎn)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)的最小值是

A．       B.         C．         D.  

6．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學(xué)有人，則的值為

A．　          B.

C．　　　　　　 D.

7.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，則二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為

A．　    B.           C．        D.

8．若右面的程序框圖輸出的是，則①應(yīng)為

A．？　       B.？         

C．？         D.？

9.已知，則“”是“恒成立”的

A．充分不必要條件   B．必要不充分條件   

C．充要條件         D．既不充分也不必要條件

10.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

 A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)        

B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

 C．把的圖像向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像

D．的最小正周期為，且在上為增函數(shù)

11．已知點(diǎn)、分別為雙曲線：的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線的離心率為

A．             B.          C．        　D.

12.已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，則直線與

A.相交，且交點(diǎn)在第I象限       B.相交，且交點(diǎn)在第II象限 

C.相交，且交點(diǎn)在第IV象限      D.相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

13．         ；

14．已知，則的值為         ；          

15．已知集合,從集合中任選三個(gè)不同的元素組成集合，則能夠滿(mǎn)足的集合的概率為=           ；

16．定義：區(qū)間的長(zhǎng)度為.已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，則區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為_(kāi)________.

17. （本小題滿(mǎn)分12分）

在中，分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，已知.

(Ⅰ)若,求實(shí)數(shù)的值;

(Ⅱ)若,求面積的最大值.

18．（本小題滿(mǎn)分12分）

在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為，，的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽

得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，記．

(Ⅰ)求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

19．（本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)且,求函數(shù)的極大值與極小值.

20．（本小題滿(mǎn)分12分）

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：；

(Ⅱ) 若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，

求此時(shí)二面角的余弦值.

21．（本小題滿(mǎn)分12分）

已知均在橢圓上，直線、分別過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，有.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，為圓的任一條直徑，求的最大值.

22．（本小題滿(mǎn)分14分）

已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，為數(shù)列 的前項(xiàng)和，試比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論．

青島市2009年高三教學(xué)統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè) 

     數(shù)學(xué)（理）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)  2009.3

17. 解:(Ⅰ) 由兩邊平方得:

即

解得: …………………………3分

而可以變形為

即 ，所以…………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,則…………………………7分

又…………………………8分

所以即…………………………10分

故………………………………12分

18．解:(Ⅰ)、可能的取值為、、，，，

，且當(dāng)或時(shí)，． 因此，隨機(jī)變量的最大值為…………………………4分

 有放回抽兩張卡片的所有情況有種，…………………6分       

(Ⅱ)的所有取值為．

時(shí)，只有這一種情況．

 時(shí)，有或或或四種情況，

時(shí)，有或兩種情況．

，，…………………………8分   

則隨機(jī)變量的分布列為：

………………10分

因此，數(shù)學(xué)期望…………………………12分

19．解：由題設(shè)知

令……………………………2分

當(dāng)時(shí)，隨的變化，與的變化如下：

0

+

0

-

0

+

極大

極小

，………6分

當(dāng)時(shí)，隨的變化，與的變化如下：

-

0

+

0

-

極小

極大

，…………11分

總之，當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，……12分

20. 解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面為正方形，

又因?yàn)?sub>,面…………………………2分

又面

…………………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)?sub>兩兩垂直，分別以它們所在直線

為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則…………………4分

設(shè)，則

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)使得

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，

邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得

由此可知…………………………8分

設(shè)面的法向量

則即解得…………………………10分

取平面的法向量

則的大小與二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值為…………………………12分

21. 解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>，所以有

所以為直角三角形；…………………………2分

則有

所以，…………………………3分

又，………………………4分

在中有

即，解得

所求橢圓方程為…………………………6分

 (Ⅱ)

從而將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值…………………………8分

是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)，則有即

又，所以………………………10分

而,所以當(dāng)時(shí)，取最大值

故的最大值為…………………………12分

22．解：（Ⅰ）由得:時(shí)，

………………………2分

是等比數(shù)列，，得 ……4分

（Ⅱ）由和得……………………6分

……10分

………………………11分

當(dāng)或時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有

那么同理可得：當(dāng)時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有………………………13分

綜上：當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有………………………14分