2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.

 

第I卷 

文本框: 球的表面積公式 S=4 其中R表示球的半徑， 球的體積公式 V= 其中R表示球的半徑 參考公式：

       如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

       如果事件A、B相互獨立，那么

P（A?B）=P（A）?P（B）

       如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么

n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率

Pn(k)=CPk(1－P)n－k

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有

（1）設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，則M∩（  U N）=

       （A）{5}                 （B）{0，3}            （C）{0，2，3，5} （D） {0，1，3，4，5}

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（2）函數(shù)的反函數(shù)為                                                                   

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       （A）                           （B）

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       （C）                          （D）

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（3）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為             （A）     （B）        （C）               （D）

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（4） 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于                                                     （A）1   （B）2   （C）3   （D）4

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（5）為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象                           （A）向左平移3個單位長度       （B）向右平移3個單位長度

       （C）向左平移1個單位長度                   （D）向右平移1個單位長度

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（6）等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前20項和等于

       （A）160                 （B）180                 （C）200                 （D）220

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（7）已知函數(shù)的圖象有公共點A，且點A的橫坐標(biāo)為2，則             （A）     （B） （C）                                （D）

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（8）已知圓C的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為                      

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（A）                     （B） 

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       （C）                     （D） 

（9） 從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任（每班1位班任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有   

（A）210種         （B）420種             （C）630種             （D）840種

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（10）函數(shù)的最小值等于                                    （A）－3      （B）－2       （C）－1     （D）－

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（11）已知球的表面積為20，球面上有A、B、C三點.如果AB=AC=BC=2，則球心到平面ABC的距離為                                                                       

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（A）1                   （B）                （C）                （D）2

（12）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，

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       ∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=                                                                （A）       （B）       （C）          （D）

 

第Ⅱ卷

 

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）展開式中的系數(shù)為              .

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（14）已知函數(shù)的最小正周期為3，則A=           .

（15）向量a、b滿足（a－b）?（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于

                 .

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（16）設(shè)滿足約束條件：

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則的最大值是                .

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

已知α為第二象限角，且 sinα=求的值.

（18）（本小題滿分12分）

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       已知數(shù)列{}為等比數(shù)列，

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（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；

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（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列{}的前項和，證明

（19）（本小題滿分12分）

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       已知直線為曲線在點（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且

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（Ⅰ）求直線的方程；

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（Ⅱ）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.

 

 

（20）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）求這名同學(xué)得300分的概率；

（Ⅱ）求這名同學(xué)至少得300分的概率.

 

 

（21）（本小題滿分12分）

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       某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題.競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響.

（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）證明PA⊥BD.

 

 

（22）（本小題滿分14分）

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       雙曲線的焦距為2c，直線過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線的距離與點（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.

 

 

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

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一、選擇題

（1）B     （2）C       （3）A      （4）D      （5）D      （6）B

（7）A     （8）D       （9）B      （10）C     （11）A     （12） B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）28        （14）         （15）         （16）2

三、解答題

（17）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識和基本技能.滿分12分.

解：

                      

   當(dāng)為第二象限角，且時

   ，

所以=

（18）本小題主要考查等比數(shù)列的概念、前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識進行運算的能力.滿分12分.

解：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a2=a1q, a5=a1q4.

                 a1q=6,

依題意，得方程組 a1q4=162.

解此方程組，得a1=2, q=3.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=2?3n－1.

（II）

（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線垂直的性質(zhì)以及分析問題和綜合運算能力.滿分12分.

解：y′=2x+1.

直線l1的方程為y=3x－3.

設(shè)直線l2過曲線y=x2+x－2上 的點B（b, b2+b－2）,則l2的方程為y=(2b+1)x－b2－2

因為l1⊥l2，則有2b+1=

所以直線l2的方程為

（II）解方程組  得

所以直線l1和l2的交點的坐標(biāo)為

l1、l2與x軸交點的坐標(biāo)分別為（1，0）、.

所以所求三角形的面積

（20）本小題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件有一個發(fā)生的概率的計算方法，應(yīng)用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.

   解：記“這名同學(xué)答對第i個問題”為事件，則

      P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6.

（Ⅰ）這名同學(xué)得300分的概率

      P1=P（A1A3）+P（A2A3）

        =P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）

        =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6

        =0.228.

（Ⅱ）這名同學(xué)至少得300分的概率

     P2=P1+P（A1A2A3）

      =0.228+P（A1）P（A2）P（A3）

      =0.228+0.8×0.7×0.6

      =0.564.

（21）本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析 

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           解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點E，連結(jié)PE，則PE⊥AD.
        作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結(jié)OE.
        根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，
        所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成的二面角的平面角，
        由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，
        所以PO=3，四棱錐P―ABCD的體積
        VP―ABCD=
        （Ⅱ）解法一：如圖1，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系.通過計算可得
        P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
        所以
        因為 所以PA⊥BD.
        解法二：如圖2，連結(jié)AO，延長AO交BD于點F.能過計算可得EO=3，AE=2，
        


        
 
        
  
  
        
   
        
    
    
        
    
        得
        所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.
                得∠EAO=∠ABD.
                所以∠EAO+∠ADF=90°
           所以  AF⊥BD.
           因為  直線AF為直線PA在平面ABCD 內(nèi)的身影，所以PA⊥BD.
        （22）本小題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運算能力.滿分12分.
          解：直線的方程為，即  
        由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離
        ，
        同理得到點（－1，0）到直線的距離
        由   即   
        于是得  
        解不等式，得   由于所以的取值范圍是
        
				
	
        
		
        


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