2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

祝各位考生考試順利！

 

第I卷（選擇題  共60分）

注意事項：

1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上．

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．不能答在試題卷上．

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是                                                                                  （    ）

       A．                B．                C．                   D．

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2．已知等差數(shù)列中，，則的值是                                   （    ）

       A．15                      B．30                      C．31                      D．64

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3．在△ABC中，∠C=90°，則k的值是                               （    ）

       A．5                        B．－5                     C．                       D．

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4．已知直線m、n與平面，給出下列三個命題：

   ①若

   ②若

   ③若

   其中真命題的個數(shù)是                                                                                         （    ）

       A．0                        B．1                        C．2                        D．3

 

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5．函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是            （    ）

       A．

       B．

       C．

       D．

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6．函數(shù)的部分圖象如圖，則                （    ）

       A．   B．

       C．   D．

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7．已知p：則p是q的（    ）

       A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

       C．充要條件            D．既不充分也不必要條件

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8．如圖，長方體ABCD―A1B1C1D1中，AA1=AB=2，

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AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中

點，則異面直線A1E與GF所成的角是（    ）

       A．         B．

       C．         D．

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9．從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有                                          （    ）

       A．300種                B．240種                C．144種                D．96種

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10．已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是                                                 （    ）

       A．            B．               C．              D．

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11．設(shè)的最小值是                                                  （    ）

       A．              B．              C．－3                     D．

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12．是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是                                                     （    ）

       A．2                        B．3                        C．4                        D．5

 

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

13．展開式中的常數(shù)項是                 （用數(shù)字作答）。

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14．非負(fù)實數(shù)滿足的最大值為                。

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15．若常數(shù)b滿足|b|>1，則            .

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16．把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題：

若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于            對稱，則函數(shù)=

                 。

 

（注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一件情形即可，不必考慮所有可能的情形）.

 

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三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

已知.

   （I）求sinx－cosx的值；

   （Ⅱ）求的值.

 

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）

甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)的圖象在點M（－1，f(x)）處的切線方程為x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

 

 

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20．（本小題滿分12分）

如圖，直二面角D―AB―E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B―AC―E的大��；

（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足，

cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.

 

 

 

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22．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列{an}滿足a1=a, an+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時，得到無窮數(shù)列：

（Ⅰ）求當(dāng)a為何值時a4=0；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn­}滿足b1=－1, bn+1=，求證a取數(shù)列{bn}中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列{an}；

（Ⅲ）若，求a的取值范圍.

 

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一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.

    1.B    2.A    3.A    4.C    5.D    6.C   7.A    8.D    9.B   10.D   11.C 12.D

二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.

13.240     14.9     15.

16.如 ①x軸，－3－log2x    ②y軸，3+log2(－x)

      ③原點，－3－log2(x)  ④直線y=x, 2x－3 

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號等基本知識，以及推理和運算能力.滿分12分.

    解法一：（Ⅰ）由

    即 

    又

    故

   （Ⅱ）

         

    解法二：（Ⅰ）聯(lián)立方程

    由①得將其代入②，整理得

   

    故

   （Ⅱ）

         

18．本小題主要考查概率的基本知識，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理和運算能力. 滿分12分.

    解：（Ⅰ）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，則

   

    甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，則ξ概率分布為：

ξ

0

1

2

P

     Eξ=0*+1*+2*=

     答：每人在罰球線各投球一次，兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望為.

    （Ⅱ）∵事件“甲、乙兩人在罰球線各投球二次均不命中”的概率為

   

    ∴甲、乙兩人在罰球線各投球兩次至少有一次命中的概率

      

答：甲、乙兩人在罰球線各投球二次，至少有一次命中的概率為

19．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學(xué) 知識，分析問題和解決問題的能力.滿分12分.

    解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象在點M（－1f(－1)）處的 切線方程為x+2y+5=0，知

       

   

20．本小題主要考查直線、直線與平面、二面角及點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查空間想

象能力，邏輯思維能力與運算能力. 滿分12分.

解法一：（Ⅰ）平面ACE.   

∵二面角D―AB―E為直二面角，且， 平面ABE.

 

（Ⅱ）連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG，

∵正方形ABCD邊長為2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B―AC―E的平面角.

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角 

，

∴二面角B―AC―E等于

（Ⅲ）過點E作交AB于點O. OE=1.

∵二面角D―AB―E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h， 

平面BCE， 

∴點D到平面ACE的距離為

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直

線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行

于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O―xyz，如圖.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中點，

 設(shè)平面AEC的一個法向量為，

則

       解得

       令得是平面AEC的一個法向量.

       又平面BAC的一個法向量為，

      

       ∴二面角B―AC―E的大小為

（III）∵AD//z軸，AD=2，∴，

∴點D到平面ACE的距離

21．本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.滿分14分.

（I）解法一：直線，  ①

過原點垂直的直線方程為，  ②

解①②得

∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

解法二：直線.

設(shè)原點關(guān)于直線對稱點為（p，q），則解得p=3.

∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

    ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

（II）解法一：設(shè)M（），N（）.

當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

 

點O到直線MN的距離

       即

      

       即

       整理得

       當(dāng)直線m垂直x軸時，也滿足.

       故直線m的方程為

       或或

       經(jīng)檢驗上述直線均滿足.

所以所求直線方程為或或

解法二：設(shè)M（），N（）.

       當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

        

       ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點，

       ∴|MN|=|ME|+|NE|

=

       以下與解法一相同.

解法三：設(shè)M（），N（）.

       設(shè)直線，代入③，整理得

     

      

       即

      

      

       ∴=，整理得      

       解得或

       故直線m的方程為或或

       經(jīng)檢驗上述直線方程為

       所以所求直線方程為或或

22．本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，考試邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

   （I）解法一：

       

故a取數(shù)列{bn}中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列{an}

 

 

 


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