江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷        

Ⅰ卷（必做題部分 共160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.

1．若集合，滿足，則實數(shù)a=         ．

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2．已知虛數(shù)z滿足等式： ，則             ．

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3．函數(shù)的最小正周期是               ．

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4. 某算法的偽代碼如右：則輸出的結(jié)果是             .

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5已知條件p:x≤1，條件q： ，則p是q的          條件.

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6.甲、乙兩同學(xué)各自獨立地考察兩個變量X、Y的線性相關(guān)

關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)兩人對X的觀察數(shù)據(jù)的平均值相等，都是s，對Y的觀察數(shù)據(jù)的平均值也相等，都是t，各自求出的回歸直線分別是l1、l2，則直線l1與l2必經(jīng)過同一點              。

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7. 已知為坐標(biāo)原點，，且，，則點的坐標(biāo)為____________

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8. 已知實數(shù)滿足則的取值范圍是_____           ___．  

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9.在0到1之間任取兩個實數(shù)，則它們的平方和大于1的概率是                   。

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10.若雙曲線經(jīng)過點，且焦點為，則它的離心率為            。

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11.已知數(shù)列中，，其通項公式=

           。

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12. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)圖像與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值是             ．

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13. 三位同學(xué)合作學(xué)習(xí)，對問題“已知不等式對于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路.

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 甲說：“可視為變量，為常量來分析”.

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  乙說：“尋找與的關(guān)系，再作分析”.

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  丙說：“把字母單獨放在一邊，再作分析”.

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參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數(shù)的取值范圍是           ．

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14.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意滿足下列關(guān)系式：.考察下列結(jié)論：①； ②為偶函數(shù)；③數(shù)列為等差數(shù)列；④數(shù)列為等比數(shù)列.其中正確的結(jié)論有              _.(請將所有正確結(jié)論的序號都填上)

請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

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二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,

15、（本小題滿分14分）某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

（Ⅰ）求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù)；

(Ⅱ)估計這次考試物理學(xué)科及格率（60分及

以上為及格）

(Ⅲ) 從物理成績不及格的學(xué)生中選兩人，求

他們成績至少有一個不低于50分的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本小題滿分14分）已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；.
（Ⅱ）當(dāng)時，若，函數(shù)的值域是，求實數(shù)的值。

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分14分）如圖，在長方體中，，，、分別為、的中點．

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（Ⅰ）求證：平面；

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（Ⅱ）求證：平面．             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分16分）已知直線l的方程為，且直線l與x軸交于點M，圓與x軸交于兩點（如圖）．

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（I）過M點的直線交圓于兩點，且圓孤恰為圓周的，求直線的方程；

（II）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；

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（III）過M點作直線與圓相切于點N,設(shè)（II）中橢圓的兩個焦點分別為F1,F2,求三角形面積。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. （本小題滿分16分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項和為Sn，且滿足：，．

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c；

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（3）若(2)中的的前n項和為，求證：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題16分)定義在的三個函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,

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g(x)= ,且g(x)在x=1處取極值。

（I）求a值及h(x)的單調(diào)區(qū)間；

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（II）求證：當(dāng)1<x< 時，恒有

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（III）把h(x)對應(yīng)的曲線向上平移6個單位后得曲線，求與g(x)對應(yīng)曲線的交點個數(shù)，并說明道理.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分 共40分）

加試題共4題，每題10分，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

試題詳情

1.設(shè)矩陣對應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長3倍，再將縱坐標(biāo)伸長2倍的兩個伸壓變換的復(fù)合，求其逆矩陣以及圓在的作用下的新曲線的方程．

 

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2．已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時，MN與橢圓短軸長相等？（用極坐標(biāo)或參數(shù)方程方程求解）

 

 

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3． 如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

 

 

 

 

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4．盒子中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各2張，從盒子中任取3張卡片，按3張卡片上最大數(shù)字的8倍計分，每張卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字，求：

（1）取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率；

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（2）隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

（3）計分不小于20分的概率．

 

江蘇省高郵中學(xué)2009屆第一學(xué)期期末模擬考試

高三數(shù)學(xué)

試題詳情

一、填空題：（每小題５分，共７０分）

1．2     　 2． 1+2i       3．π     　　　4． 9    　 　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　  8． 　　　9.  　　　10.

11. 　　　12.  4    　　 13. 　　　14①③④

二、解答題：（共９０分）

15、（本小題滿分14分）

解： （Ⅰ）因為各組的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

………………………………3分

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依題意，成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估計這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成績低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：

              ……………………………………………………14分

 

16．（本小題滿分14分）

解：

（Ⅰ）當(dāng)時，    ………………………………3分

當(dāng)時，是增函數(shù)，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.   ……………7分

（Ⅱ）由得，

因為 ，所以當(dāng)時，取最小值3，即
當(dāng)時，取最大值4，即
將代入（1）式得.        ………………………………14分

 

17．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：側(cè)面，

側(cè)面，，

………3分

在中，，

則有， 

，，           ………………………………………6分

又平面．        ……………………………………7分

 

（Ⅱ）證明：連、，連交于，

，，四邊形是平行四邊形，……………10分

                                       ………………………11分

又平面，平面，

平面．                               ………………………14分

 

18．（本小題滿分1６分）

解：（I）為圓周的點到直線的距離為

設(shè)的方程為的方程為…5分

（II）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，則橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，則或                     ………………………………7分

當(dāng)時，所求橢圓方程為；當(dāng)時，

所求橢圓方程為                      ………………………………1１分

（III）設(shè)切點為N，則由題意得，在中，，則，

N點的坐標(biāo)為，……………………1２分

若橢圓為其焦點F1,F2

分別為點A,B故，

若橢圓為，其焦點為,

此時　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小題滿分1６分）

解：（1）為等差數(shù)列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個根

又公差，∴，∴， ……………………………      2分

∴    ∴   ∴………………………………  4分

（2）由(1)知， …………………………………    5分

∴

∴，， …………………………………………  7分

∵是等差數(shù)列，∴，∴ …………………………  8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

  ，時取等號 … 13分

，時取等號15分

(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以 ………………… 16分

 

20. (本小題滿分16分)

解（I）由題意：

∴a=2                ……………………………………………  2分

而所以h(x)在上為增函數(shù)，h(x)在上為增函數(shù)�！�       4分

（II）

欲證：只需證：，即證：

記

∴

∴當(dāng)x>1時，為增函數(shù)……………………………….9分

即

∴結(jié)論成立          ………………………………………………………………10分

 

（III）由 （1）知：

∴對應(yīng)表達(dá)式為

∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當(dāng)時，為減函數(shù).

當(dāng)時，為增函數(shù).

而的圖象開口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點個數(shù)為2個.即與的交點個數(shù)為2個. …………………………………16分

 

 

 

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分）參考答案

1.解： ，………………………………………………………  5分

圓在的作用下的新曲線的方程為 ……10分

2．已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時，MN與橢圓短軸長相等？

解：以橢圓的左焦點為極點長軸所在直線為

極軸建立極坐標(biāo)系（如圖）

這里:a=3,c=,

………………………2分

所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：

………………………４分

設(shè)M點的極坐標(biāo)為，N點的極坐標(biāo)為，………………５分

解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點為，直線MN的參數(shù)方程為：

，           ………………４分

將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：

，設(shè)M、N對應(yīng)的參數(shù)分別為，則

2解：（1）以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 ……………………2分

cos<>． 　          ………………………………4分

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．………………5分

（2），，設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個法向量為n2＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　    …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）記＂一次取出的３張卡片上的數(shù)字互不相同的事件＂為Ａ，

　      則　　………………………………………………２分

（２）由題意有可能的取值為：２，３，４，５

 

 　………５分

所以隨機(jī)變量的概率分布為：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的數(shù)學(xué)期望為Ｅ＝＋＋＋

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