（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)的中點為，求證：平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

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（1）求證：平面平面；
（2）求正方形的邊長；
（3）求二面角的平面角的正切值．

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（1）求證：平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁  ；
（3）求異面直線FG、B₁C所成的角

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（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小。

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（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內(nèi)的三個點，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點，若點C在直線AB上，試證明：存在實數(shù)λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如圖2，設(shè)G為△ABC的重心，PQ過G點且與AB、AC（或其延長線）分別交于P，Q點，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，試探究：

1

m

+

1

n

的值是否為定值，若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

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一、填空題：（每小題５分，共７０分）

1．2     　 2． 1+2i       3．π     　　　4． 9    　 　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　  8． 　　　9.  　　　10.

11. 　　　12.  4    　　 13. 　　　14①③④

二、解答題：（共９０分）

15、（本小題滿分14分）

解： （Ⅰ）因為各組的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

………………………………3分

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依題意，成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估計這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成績低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：

              ……………………………………………………14分

16．（本小題滿分14分）

解：

（Ⅰ）當(dāng)時，    ………………………………3分

當(dāng)時，是增函數(shù)，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.   ……………7分

（Ⅱ）由得，

因為 ，所以當(dāng)時，取最小值3，即
當(dāng)時，取最大值4，即
將代入（1）式得.        ………………………………14分

17．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：側(cè)面，

側(cè)面，，

………3分

在中，，

則有， 

，，           ………………………………………6分

又平面．        ……………………………………7分

（Ⅱ）證明：連、，連交于，

，，四邊形是平行四邊形，……………10分

                                       ………………………11分

又平面，平面，

平面．                               ………………………14分

18．（本小題滿分1６分）

解：（I）為圓周的點到直線的距離為

設(shè)的方程為的方程為…5分

（II）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，則橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，則或                     ………………………………7分

當(dāng)時，所求橢圓方程為；當(dāng)時，

所求橢圓方程為                      ………………………………1１分

（III）設(shè)切點為N，則由題意得，在中，，則，

N點的坐標(biāo)為，……………………1２分

若橢圓為其焦點F₁,F₂

分別為點A,B故，

若橢圓為，其焦點為,

此時　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小題滿分1６分）

解：（1）為等差數(shù)列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個根

又公差，∴，∴， ……………………………      2分

∴    ∴   ∴………………………………  4分

（2）由(1)知， …………………………………    5分

∴

∴，， …………………………………………  7分

∵是等差數(shù)列，∴，∴ …………………………  8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

  ，時取等號 … 13分

，時取等號15分

(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以 ………………… 16分

20. (本小題滿分16分)

解（I）由題意：

∴a=2                ……………………………………………  2分

而所以h(x)在上為增函數(shù)，h(x)在上為增函數(shù)�！�………       4分

（II）

欲證：只需證：，即證：

記

∴

∴當(dāng)x>1時，為增函數(shù)……………………………….9分

即

∴結(jié)論成立          ………………………………………………………………10分

（III）由 （1）知：

∴對應(yīng)表達(dá)式為

∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當(dāng)時，為減函數(shù).

當(dāng)時，為增函數(shù).

而的圖象開口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點個數(shù)為2個.即與的交點個數(shù)為2個. …………………………………16分

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分）參考答案

1.解： ，………………………………………………………  5分

圓在的作用下的新曲線的方程為 ……10分

2．已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點F₁作一直線，交橢圓于兩點M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時，MN與橢圓短軸長相等？

解：以橢圓的左焦點為極點長軸所在直線為

極軸建立極坐標(biāo)系（如圖）

這里:a=3,c=,

………………………2分

所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：

………………………４分

設(shè)M點的極坐標(biāo)為，N點的極坐標(biāo)為，………………５分

解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點為，直線MN的參數(shù)方程為：

，           ………………４分

將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：

，設(shè)M、N對應(yīng)的參數(shù)分別為，則

2解：（1）以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 ……………………2分

cos<>． 　          ………………………………4分

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．………………5分

（2），，設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個法向量為n₂＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　    …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）記＂一次取出的３張卡片上的數(shù)字互不相同的事件＂為Ａ，

　      則　　………………………………………………２分

（２）由題意有可能的取值為：２，３，４，５

 　………５分

所以隨機變量的概率分布為：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的數(shù)學(xué)期望為Ｅ＝＋＋＋