Question

已知長(zhǎng)方體ABCD—A₁B₁C_lD₁內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AA₁的中點(diǎn)，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為

A．8              B．16:            C．14             D．18

 

Answer 1

【答案】

B.

【解析】

試題分析：∵長(zhǎng)方體ABCD—A₁B₁C_lD₁內(nèi)接于球O，∴球心O是A中點(diǎn)。

∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴BD=2 ，

設(shè)BD中點(diǎn)為O‘，連接OO'

∴OO'⊥平面ABCD

∵E為A 的中點(diǎn)，

∴AE//OO'， AE=OO'

∴AO'OE為矩形

∵OA垂直平面BDE

∴OA⊥EO'

∴AO'OE為正方形

∴AO= AO'=2

即球O的半徑R=2

∴球O面積4πR²=16π，故選B。

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何平行關(guān)系、垂直關(guān)系、長(zhǎng)方體、球的幾何特征，球的表面積計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，首先認(rèn)定球心O是A中點(diǎn)，圍繞球半徑的計(jì)算，構(gòu)造出現(xiàn)直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系求解。