Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DD₁=1，DC=

2

，點(diǎn)E是B₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
（1）求

AE

的坐標(biāo)及長度；
（2）求點(diǎn)F的坐標(biāo)，使直線DF與AE的夾角為90°．

Answer 1

分析：（1）確定A，E的坐標(biāo)，可得

AE

的坐標(biāo)及長度；
（2）假設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用直線DF與AE的夾角為90°，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，A（1，0，0），E（

1

2

，

2

，1），∴

AE =(- 1 2 ， 2 ，1)

∴

|AE |=|(- 1 2 ， 2 ，1)

.

=

13

2

；
（2）設(shè)F（1，y，0），則

DF

=（1，y，0）
∵直線DF與AE的夾角為90°，
∴

DF

⊥

AE

∴

- 1 2 + 2 y=0

∴y=

2

4

∴F(1，

2

4

，0)

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)及模長的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積，正確表示向量是關(guān)鍵．