Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=1，BB₁=2，連接B₁C，過B點作B₁C．
的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（I）求證：A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直線DE與平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（法一）
（I）由正方形的性質(zhì)可得AC⊥DB，而A₁C在平面ABCD內(nèi)的斜線，由三垂線的逆定理可得A₁C⊥BD①，又A₁C在平面BB₁C₁C內(nèi)的射影
B₁C⊥BE，同理可得BEA₁C⊥BE②由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證
（II）由（I）可得EF⊥平面A₁B₁C，考慮連接DF，根據(jù)三垂線定理可得∠EDF即為直線ED與平面A₁B₁C所成的角，在直角三角形EDF中，求解∠EDF即可．
（法二）如圖以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
（I）要證A₁C⊥平面EBD?

A1C

⊥

BE

， 

A1C

⊥

DE

?

A1C

•

BE

=0  ，

A1C

•

DE

=0，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可證
（II）分別求解平面A₁B₁C的一個法向量為

m

，DE與平面A₁B₁C所成角轉(zhuǎn)化為

DE

與

m

所成的角，代入公式cosθ=

m • DE

| m || DE |

可求

解答：法一：（I）證明：連接AC，由底面ABCD為正方形，得AC⊥DB．
∵AC是A₁C在平面ABCD內(nèi)的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，且A₁C在平面BB₁C₁C內(nèi)的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又BE∩BD=B∴A₁C⊥平面EBD

（Ⅱ）解：連接DF，A₁D∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C
∴EF⊥平面A₁B₁C∴∠EDF即為直線ED與平面A₁B₁C所成的角
由條件AB=BC=1，BB₁=2
可知B1C=

5

，BF=

2 5

5

，B1F=

4 5

5

，CF=

5

5

EF=

FC•BF

B1F

=

5

10

，EC=

FC•BB1

B1F

=

1

2

∴ED=

EC2+CD2

=

5

2

∴sinEDF=

EF

ED

=

1

5

解法二：（I）證明：如圖以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則∵

A1C

•

BE

=1×0+1×1+(-2)×

1

2

=0，

A1C

•

DE

=1×1+1×0+(-2)×

1

2

=0
∴

A1C

⊥

BE

，

A1C

⊥

DE

，
即A₁C⊥BE，A₁C⊥DE∵BE∩DE=E∴A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）解：設(shè)平面A₁B₁C的一個法向量為

m

=（x，y，z）
則

A1B1 •m=0 B1C •m=0

∴

x=0 y=2z

令z=1，得m=（0，2，1），又

ED

=(-1，0，-

1

2

)
設(shè)

ED

與

m

所成角為θ，則cosθ=

m• ED

|m|•| ED |

=-

1

5

．從而把直線
∴直線ED與平面A₁B₁C所成角的正弦值為

1

5

．

點評：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系：垂直關(guān)系的判定定理的運用，直線與平面所成角的求解，在解決此類問題時，采用空間向量的方法，可以很容易尋求解題思路，但要注意直線與平面所成的角的范圍．