Question

2007年10月24日，中國(guó)首顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，隨后，“嫦娥一號(hào)”經(jīng)過變軌和制動(dòng)成功進(jìn)入環(huán)月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道I上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)經(jīng)過短暫的點(diǎn)火變速，進(jìn)入橢圓軌道II，在到達(dá)軌道II近月點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火變速，進(jìn)入近月圓形軌道III，而后飛船在軌道III上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，引力常量為G．不考慮其他星體對(duì)飛船的影響，求：
（1）飛船在軌道I、III上的速度之比：
（2）飛船在軌道I上的運(yùn)動(dòng)周期；
（3）飛船從軌道II上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關(guān)系，從而得出速度之比．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出飛船在軌道I上的運(yùn)動(dòng)周期．
（3）根據(jù)開普勒第三定律求出飛船在橢圓軌道上的周期，從而求出飛船從軌道II上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間．

解答：解：（1）根據(jù)G

Mm

r2

=m

v2

r

，
知v=

GM r

，
因?yàn)閞₁=4R，r₃=R，
則

v1

v3

=

r3 r1

=

1

2

．
（2）根據(jù)G

Mm

(4R)2

=m?4R

4π2

T2

，
又G

Mm

R2

=mg₀
聯(lián)立兩式解得T=16π

R g0

．
（3）橢圓的半長(zhǎng)軸為2.5R
根據(jù)開普勒第三定律得，

(2.5R)3

T′2

=

(4R)3

T2

解得T′≈8π

R g0

則飛船從軌道II上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間t=

T′

2

=4π

R g0

．
答：（1）飛船在軌道I、III上的速度之比為1：2．
（2）飛船在軌道I上的運(yùn)動(dòng)周期為16π

R g0

．
（3）飛船從軌道II上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間為4π

R g0

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，開普勒定律的應(yīng)用．同時(shí)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式計(jì)算．