Question

在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.1T，方向垂直于xOy平面向里，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一正離子放射源，放射出的正離子的比荷都為

q

m

=1×10⁶C/kg，且速度方向與磁場(chǎng)方向垂直．若各離子間的相互作用和離子的重力都可以忽略不計(jì)．
（1）如圖甲所示，若第一象限存在直角三角形AOC的有界磁場(chǎng)，∠OAC=30°，AO邊的長(zhǎng)度l=0.3m，正離子從O點(diǎn)沿x軸正方向以某一速度射入，要使離子恰好能從AC邊射出，求離子的速度大小及離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）如圖乙所示，若第一象限存在一未知位置的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，正離子放射源放射出不同速度的離子，所有正離子入射磁場(chǎng)的方向均沿x軸正方向，且最大速度v_m=4.0×10⁴m/s，為保證所有離子離開磁場(chǎng)的時(shí)候，速度方向都沿y軸正方向，試求磁場(chǎng)的最小面積，并在圖乙中畫出它的形狀．

Answer 1

（1）正離子在磁場(chǎng)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離子剛好從AC邊上的D點(diǎn)射出時(shí)，如圖甲所示，離子軌跡圓的圓心為O′，軌道半徑為r，由幾何知識(shí)得：
r+2r=l
故r=

l

3

=0.1m
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力
qvB=m

v2

r

聯(lián)立以上各式的：v=

qBr

m

=1.0×10⁴m/s
若正離子恰好從AC邊射出，由幾何知識(shí)可知，圓心角∠DO′O=120°
又因T=

2πm

qB

所以正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

θ

360°

T=2.1×10^-5s
（2）所有離子進(jìn)入磁場(chǎng)后均做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且入射方向沿x軸正方向，離開時(shí)沿y軸正方向，速度偏轉(zhuǎn)角為

π

2

，并且所有離子的軌跡圓的圓心都在y軸正半軸上，
所以滿足題意的最小磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)閳D乙所示，
根據(jù)牛頓第二定律有：
qv_mB=m

vm2

Rm

得：R_m=

mvm

qB

=0.4m
所以磁場(chǎng)區(qū)域最小面積為：
S=

1

4

πR_m²-

1

2

R_m²=0.04（π-2）=0.0456m²
答：（1）離子的速度大小為1.0×10⁴m/s，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2.1×10^-5s．
（2）磁場(chǎng)的最小面積為0.0456m²．