Question

如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開始沿與水平導(dǎo)體軌道平滑連接的弧形軌道下滑，導(dǎo)軌的水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，水平部分導(dǎo)軌間距l(xiāng)，其上原來放有一金屬桿b．已知a桿與b桿的質(zhì)量分別為3m、4m，a、b兩桿電阻分別為3R、4R其余電阻不計(jì)．水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，不計(jì)所有摩擦，導(dǎo)體桿a、b不會(huì)相撞．求：
（1）金屬桿b的最大加速度？
（2）a和b的最終速度是多大？整個(gè)過程中回路釋放的電能最多是多少？

Answer 1

分析：（1）a桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最大，則切割磁感線速度最大，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也最大，從而得出感應(yīng)電流也最大，所以導(dǎo)致b桿受到的安培力最大，則產(chǎn)生的加速度也是最大．所以根據(jù)動(dòng)能定理可求出a桿進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，再由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv確定回路總電動(dòng)勢(shì)，并由電路知識(shí)回路中的電流為 I=

E

R+r

，磁場(chǎng)知識(shí)通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中受安培力F=BIL，確定此時(shí)b桿所受的安培力為F=BIL，最后由牛頓第二定律F=ma求出b桿的加速度．
（2）本題中兩根導(dǎo)體桿的運(yùn)動(dòng)情況：a桿向b桿運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩桿和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流．a(chǎn)桿受到的與運(yùn)動(dòng)方向相反的安培力作用作減速運(yùn)動(dòng)，b桿則在安培力作用下作加速運(yùn)動(dòng)．在a桿的速度大于b桿的速度時(shí)，回路總有感應(yīng)電流，a桿繼續(xù)減速，cd桿繼續(xù)加速，兩桿速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩桿以相同的速度v作勻速運(yùn)動(dòng)，由于平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面且兩桿均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行，故由兩桿組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，這是第一問再由能量守恒求出焦耳熱的關(guān)鍵；

解答：解：（1）a桿下滑過程，由動(dòng)能定理可得：
mgh=

1

2

mv2-0
而a桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv
 電路知識(shí)回路中的電流為 I=

E

R+r

，
磁場(chǎng)中a桿受安培力F=BIL，
則由牛頓第二定律，結(jié)合以上四式可得：
    a=

B2l2 2gh

49Rm

（2）a桿向b桿運(yùn)動(dòng)時(shí)，由兩桿組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
則有3mv=（3m+4m）v_共
解之得：v共=

3 2gh

7

，
由能量守恒定律可得：Q=

1

2

3mv2-

1

2

(3m++4m)

v

2 共

解之得：Q=3mgh-

18mgh

14

=

12mgh

7

答：（1）金屬桿b的最大加速度

B2L2 2gh

49Rm

；
（2）a和b的最終速度是

3 2gh

7

；整個(gè)過程中回路釋放的電能最多是

12mgh

7

．

點(diǎn)評(píng)：第一問是動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用問題，分析兩棒組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中是不是合外力為零或者內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力的系統(tǒng)總動(dòng)量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關(guān)鍵，之后分析這類電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化較易：系統(tǒng)減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱；第二問求棒的瞬時(shí)加速度問題較為復(fù)雜：是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題．