Question

如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開始沿弧形軌道下滑，導軌平行的水平部分有豎直向上的勻強磁場B，水平部分導軌上原來放有一長L的金屬桿b．已知桿的質量為m_a，且與b桿的質量比為m_a：m_b=3：4，水平導軌足夠長，不計摩擦．求：
（1）若a、b電阻分別為R_a、R_b，則b的最大加速度為多大？
（2）a和b的最終速度分別是多大？
（3）整個過程中回路中釋放的電能是多少？
（4）若已知a、b桿的電阻之比R_a：R_b=3：4，其余電阻不計．整個過程中a、b上產生的熱量分別是多少？

Answer 1

分析：a下滑，以一定速度進入水平軌道（磁場區(qū)），產生感應電動勢．a與b組成閉合回路，且產生感應電流．根據(jù)左手定則判斷a、b受的安培力方向可知a做減速運動，b做加速運動．剛開始時b受的安培力最大，加速度最大．經過一段時間后，a、b達到相同速度，之后回路中磁通量不發(fā)生變化，感應電流為零，不再受安培力．a、b勻速運動．回路中的電能從能量轉化角度分析，克服安培力做功過程中將a的重力勢能轉化為a、b的動能和a、b回路中的電能．

解答：解：（1）a下滑h高的過程中，由機械能守恒：m_agh=

1

2

m_av_a²，
               v_a=

2gh

當a以v_a速度進入磁場區(qū)時，產生的感應電動勢：E=BLv_a=BL

2gh

回路中感應電流為：I=

E

Ra+Rb

所以b受到的安培力F=BIL，b的最大加速度為：a_max=

F

mb

=

B2l2 2gh

(Ra+Rb)mb

（2）a、b達共同的速度過程中，a、b系統(tǒng)所受合外力為零．由動量守恒得：m_av_a=（m_a+m_b）v；
a、b最終速度：v=

3

7

             v_a=

3

7

2gh

（3）再由能量守恒知，回路中產生的電能：E=m_agh-

1

2

（m_a+m_b）v²=

4

7

m_agh
（4）回路中產生的熱量Q_a+Q_b=E，在回路中產生電能的過程中，雖然電流不恒定，但R_a與R_b串聯(lián)，通過a、b的電流總是相等的，所以有：

Qa

Qb

=

Ra

Rb

=

3

4

Qa

Qa+Qb

=

3

7

Qa=

3E

7

=

12

49

magh   
Q_b=magh-

1

2

(ma+mb)v2=

4

7

E=

16

49

magh  
答：（1）若a、b電阻分別為R_a、R_b，則b的最大加速度為：a_max=

F

mb

=

B2l2 2gh

(Ra+Rb)mb

；
（2）a和b的最終速度分別是：v=

3

7

與 v_a=

3

7

2gh

；
（3）整個過程中回路中釋放的電能是

4

7

m_agh；
（4）若已知a、b桿的電阻之比R_a：R_b=3：4，其余電阻不計．整個過程中a、b上產生的熱量分別是

12

49

magh，

16

49

magh．

點評：考查機械能守恒定律、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、能量守恒定律與動量守恒定律的應用，注意守恒條件及矢量性．