Question

如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開始沿弧形軌道下滑，導(dǎo)軌平行的水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，水平部分導(dǎo)軌上原來(lái)放有一根金屬桿b，已知桿a的質(zhì)量為m，b桿的質(zhì)量為

3

4

m水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，不計(jì)摩擦，求：
（1）a和b的最終速度分別是多大？
（2）整個(gè)過(guò)程中回路釋放的電能是多少？
（3）若已知a、b桿的電阻之比R_a：R_b=3：4，其余電阻不計(jì)，整個(gè)過(guò)程中，a、b上產(chǎn)生的熱量分別是多少？

Answer 1

分析：（1）分析兩桿的運(yùn)動(dòng)情況，a桿沿光滑軌道下滑時(shí)獲得了速度，進(jìn)入磁場(chǎng)后，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到向左的安培力而減速，b桿受到向右的安培力而加速，經(jīng)一段時(shí)間，a、b速度達(dá)到相同，之后回路的磁通量不發(fā)生變化，感應(yīng)電流為零，安培力為零，二者勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的速度即為a、b的最終速度，由于a、b系統(tǒng)所受合外力為零，動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可求出最終速度．
（2）整個(gè)過(guò)程中兩桿的機(jī)械能減小轉(zhuǎn)化為回路釋放的電能，根據(jù)能量守恒定律求解電能．
（3）通過(guò)兩桿的電流相等，由焦耳定律求解兩桿產(chǎn)生的熱量之比，即可求出各桿的熱量．

解答：解：（1）a下滑h過(guò)程中機(jī)械能守恒：mgh=

1

2

m

v

2 0

…①
a進(jìn)入磁場(chǎng)后，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，a、b都受安培力作用，a作減速運(yùn)動(dòng)，b作加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間，a、b速度達(dá)到相同，之后回路的磁通量不發(fā)生變化，感應(yīng)電流為零，安培力為零，二者勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的速度即為a、b的最終速度，設(shè)為v，由過(guò)程中a、b系統(tǒng)所受合外力為零，
動(dòng)量守恒得：mv0=(m+

3

4

m)v…②
由①②解得最終速度：v=

4

7

2gh

（2）由能量守恒知，回路中產(chǎn)生的電能等于a、b系統(tǒng)機(jī)械能的損失，所以有：
E=mgh-

1

2

(m+

3

4

m)v2=

3

7

mgh
（3）回路中產(chǎn)生的熱量Q_a+Q_b=E，在回路中產(chǎn)生電能的過(guò)程中，雖然電流不恒定，但由于R_a、R_b串聯(lián)，通過(guò)a、b的電流總是相等的，所以有
 

Qa

Qb

=

3

4

，
故Qa=

3

7

E=

9

49

mgh，Qb=

4

7

E=

12

49

mgh．
答：
（1）a和b的最終速度分別是

4

7

2gh

．
（2）整個(gè)過(guò)程中回路釋放的電能是

3

7

mgh．
（3）整個(gè)過(guò)程中，a、b上產(chǎn)生的熱量分別是

9

49

mgh和

12

49

mgh．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙桿在軌道滑動(dòng)類型，分析兩桿的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，其次要把握物理規(guī)律，系統(tǒng)的合外力為零，動(dòng)量是守恒的．