Question

【題目】如圖所示，一軌道由半徑為2m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可以調節(jié)的水平直軌道BC在B點平滑連接而成。現(xiàn)有一質量為0.2kg的小球從A點無初速度釋放，經(jīng)過圓弧上的B點時，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N，小球經(jīng)過BC段所受阻力為其重力的0.2倍，然后從C點水平飛離軌道，落到水平面上的P點，P、C兩點間的高度差為3.2m。小球運動過程中可以視為質點，且不計空氣阻力。

（1）求小球運動至B點的速度大小以及小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；

（2）為使小球落點P與B點的水平距離最大，求BC段的長度；

（3）小球落到P點后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設小球每次碰撞機械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等。求小球從C點飛出后靜止所需的時間。

Answer 1

【答案】（1）2.4J（2）3.36m（3）2.4s

【解析】

（1）小球在B點受到的重力與支持力的合力提供向心力，則有：

解得：

A至B過程中，由動能定理：，解得：；

（2）B至C過程中，由動能定理：

B至P的水平距離為：

當時P至B的水平距離最大，最大距離為：；

（3）C至P的時間為：，由于小球每次碰撞機械能損失，由，則碰撞后的速度為碰撞前速度的，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，則碰撞后豎直方向的分速度為碰撞前豎直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高點的時間等于從C點到落地的時間的，所以：

第一次反彈至落地時間為：

第二次反彈至落地時間為：

第三次反彈至落地時間為：

……

第n次反彈至落地時間為：

由數(shù)學歸納法分可得總時間為：。