Question

（18分）如圖所示，水平放置的足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ的一端接有電阻R₀，不計(jì)電阻的導(dǎo)體棒ab靜置在導(dǎo)軌的左端MP處，并與MN垂直．以導(dǎo)軌PQ的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系xOy，Ox軸沿PQ方向．每根導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的電阻為r．垂直于導(dǎo)軌平面的非勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度在y軸方向不變，在x軸方向上的變化規(guī)律為：B＝B₀＋kx，并且x≥0．現(xiàn)在導(dǎo)體棒中點(diǎn)施加一垂直于棒的水平拉力F，使導(dǎo)體棒由靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a．設(shè)導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)．不計(jì)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的摩擦，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)其余部分的電阻．

（1）請(qǐng)通過(guò)分析推導(dǎo)出水平拉力F的大小隨橫坐標(biāo)x變化的關(guān)系式；
（2）如果已知導(dǎo)體棒從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝x₀的過(guò)程中，力F做的功為W，求此過(guò)程回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若B₀＝0．1T，k＝0．2T／m，R₀＝0．1Ω，r＝0．1Ω／m，L＝0．5m，
a＝4m／s²，求導(dǎo)體棒從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝1m的過(guò)程中，通過(guò)電阻R₀的電荷量q．

Answer 1

(1)  (2) W-max₀ ; (3) 0.5C

試題分析：（1）設(shè)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為x處的速度為v，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：E=BLv①
由歐姆定律：②
由于棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，所以有③
此時(shí)棒受到的安培力：④
由牛頓第二定律：⑤
聯(lián)立①②③④⑤可得： 
（2）設(shè)導(dǎo)體棒在x=x₀處的動(dòng)能為E_K，則由動(dòng)能定理可得：E_K=max₀ ⑥
由能量守恒定律可知：W=Q+E_K  ⑦
將⑥式代入⑦式可解得：Q=W-max₀
（3）由①②兩式可得：⑧
因?yàn)閍=vt，將題中所給的數(shù)據(jù)代入⑧式可得：I="2t(A)" ⑨
可知回路中的電流與時(shí)間成正比，所以在0-t時(shí)間內(nèi)，通過(guò)R₀的電荷量為：
由勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：，當(dāng)x=x₀時(shí)，有