Question

如圖所示的坐標(biāo)系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內(nèi)，既無電場也無磁場，在第三象限，存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場和垂直xOy平面（紙面）向里的勻強(qiáng)磁場，在第四象限，存在沿y軸負(fù)方向、場強(qiáng)大小與第三象限電場場強(qiáng)相等的勻強(qiáng)電場．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電質(zhì)點(diǎn)，從y軸上y=h處的P₁點(diǎn)以一定的水平初速度沿x軸負(fù)方向進(jìn)入第二象限，然后經(jīng)過x軸上x=-2h處的P₂點(diǎn)進(jìn)入第三象限，帶電質(zhì)點(diǎn)恰好能做勻速圓周運(yùn)動，之后經(jīng)過y軸上y=-2h處的P₃點(diǎn)進(jìn)入第四象限．已知重力加速度為g．試求：
（1）粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時速度的大小和方向；
（2）第三象限空間中電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)在第四象限空間運(yùn)動過程中最小速度的大小和方向；
（4）質(zhì)點(diǎn)從P₁到第四象限速度最小位置所需的時間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先做平拋運(yùn)動，將運(yùn)動分解成水平方向勻速直線運(yùn)動與豎直方向自由落體運(yùn)動，從而求出粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時速度的大小和方向；
（2）當(dāng)帶電粒子進(jìn)入電場、磁場與重力場中時，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動，由平衡可得出電場強(qiáng)度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）粒子最后粒子進(jìn)入電場與重力場中時，做類斜上拋運(yùn)動，水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動．當(dāng)豎直方向的速度減小到0．此時質(zhì)點(diǎn)速度最小，根據(jù)速度的分解求出最小速度．
（4）所需的時間為二、三、四象限的運(yùn)動之間之和．

解答：（1）軌跡如右圖所示，帶電質(zhì)點(diǎn)從P₁到P₂，由平拋運(yùn)動規(guī)律得：
h=

1

2

gt²
v₀=

2h

t

=

2gh

v_y=gt=

2gh

解得：v=

v02+vy2

=2

gh

…①
方向與x軸負(fù)方向成45°角
（2）帶電質(zhì)點(diǎn)從P₂到P₃，重力與電場力平衡，洛倫茲力提供向心力：
Eq=mg…②
Bqv=m

v2

R

…③
（2R）²=（2h）²+（2h）²…④
由②解得：E=

mg

q

聯(lián)立①③④式得：B=

m

q

2g h

．
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入第四象限，水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動．當(dāng)豎直方向的速度減小到0，此時質(zhì)點(diǎn)速度最小，即v在水平方向的分量為：v_min=vcos45°=

2gh

，方向沿x軸正方向．
（4）在第二象限平拋，運(yùn)動時間為：t1=

2h g

；
在第三象限勻速圓運(yùn)動，運(yùn)動時間為：t2=

πR

v

=

π

2

2h g

；
在第四象限類斜拋，運(yùn)動時間為：t3=

1

2

2h g

；
所以運(yùn)動的總時間為為：t=

3+π

2

2h g

；
答：（1）粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時速度的大小2

gh

，方向與x軸負(fù)方向成45°角；
（2）第三象限空間中電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小

m

q

2g h

；
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)在第四象限空間運(yùn)動過程中最小速度的大小

2gh

，方向沿x軸正方向；
（4）質(zhì)點(diǎn)從P₁到第四象限速度最小位置所需的時間t=

3+π

2

2h g

．

點(diǎn)評：本題考查帶電粒子在場中三種運(yùn)動模型：勻速圓周運(yùn)動、平拋運(yùn)動和類斜拋運(yùn)動，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，做題時一邊分析一邊畫出運(yùn)動軌跡，畫的運(yùn)動軌跡盡量精確最好．