Question

如圖所示，光滑圓弧形軌道半徑R=10m，一小球A自最低點(diǎn)O開(kāi)始在槽內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，離O點(diǎn)的水平距離s=5m處的平臺(tái)上方邊緣O′處有另一小球B以一定初速度水平拋出．
（1）小球A往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期為多少？
（2）若小球B的拋出點(diǎn)離O點(diǎn)的豎直高度為h，則小球B運(yùn)動(dòng)到O的時(shí)間為多少？
（3）要讓B在O點(diǎn)處擊中A球，則B球的初速度v₀以及O′與O點(diǎn)間的高度差h應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）小球A往復(fù)運(yùn)動(dòng)可等效成擺長(zhǎng)為R的單擺，根據(jù)單擺的周期公式求解．
（2）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，高度決定時(shí)間，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出時(shí)間．
（3）抓住A、B的時(shí)間相等，結(jié)合A運(yùn)動(dòng)的周期性，求出B球的初速度和高度差滿(mǎn)足的條件．

解答：解：（1）小球A往復(fù)運(yùn)動(dòng)可等效成擺長(zhǎng)為R的單擺，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為：
    T=2π

R g

=2π

10 10

s=6.28s；
（2）小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，則：
   h=

1

2

gt2
解得：t=

2h g

；
（3）要讓B在O點(diǎn)處擊中A球，必須有：
  t=n?

T

2

（n=1，2，3…，）
  s=v₀t
聯(lián)立以上各式得：
  h=5π²n² m（n=1，2，3，…）
  v₀=

5

πn

（n=1，2，3，…）；
答：
（1）小球A往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期為6.28s．
（2）若小球B的拋出點(diǎn)離O點(diǎn)的豎直高度為h，則小球B運(yùn)動(dòng)到O的時(shí)間為

2h g

．
（3）要讓B在O點(diǎn)處擊中A球，則B球的初速度v₀以及O′與O點(diǎn)間的高度差h應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：h=5π²n² m（n=1，2，3，…），v₀=

5

πn

（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住A、B的時(shí)間相等，結(jié)合A球簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性進(jìn)行求解．