Question

【題目】設(shè)空間存在三個(gè)相互垂直的已知場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和重力加速度為g的重力場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的質(zhì)點(diǎn)在此空間運(yùn)動(dòng)，已知在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)速度的大小恒定不變。

(i)試通過(guò)論證，說(shuō)明此質(zhì)點(diǎn)作何種運(yùn)動(dòng)（不必求出運(yùn)動(dòng)的軌跡方程）。

(ii)若在某一時(shí)刻，電場(chǎng)和磁場(chǎng)突然全部消失，已知此后該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小動(dòng)能為其初始動(dòng)能（即電場(chǎng)和磁場(chǎng)剛要消失時(shí)的動(dòng)能）的一半，試求在電場(chǎng)、磁場(chǎng)剛要消失時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的速度在三個(gè)場(chǎng)方向的分量。

Answer 1

【答案】(i)質(zhì)點(diǎn)速度的方向也是不變的，即質(zhì)點(diǎn)在給定的場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其軌跡是直線(xiàn)，在Oxz平面內(nèi)，與電場(chǎng)力和重力的合力垂直。 (ii)

【解析】

(i)在空間取如圖所示的直角坐標(biāo)Oxyz，Ox軸沿電場(chǎng)方向，Oy軸沿磁場(chǎng)方向，Oz軸與重力方向相反。因?yàn)榇艌?chǎng)作用于質(zhì)點(diǎn)的洛侖茲力與磁場(chǎng)方向垂直，即在Oxz平面內(nèi)；作用于質(zhì)點(diǎn)的電場(chǎng)力和重力也在Oxz平面內(nèi)，故質(zhì)點(diǎn)在y方向不受力作用，其速度沿y方向的分速度的大小和方向都是不變的。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)速度的大小是恒定不變的，而磁場(chǎng)作用于質(zhì)點(diǎn)的洛侖茲力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不做功，故質(zhì)點(diǎn)的速度沿垂直磁場(chǎng)方向的分速度的大小一定也是恒定不變的，故此分速度必須與電場(chǎng)力和重力的合力垂直。由于電場(chǎng)力和重力的合力的方向是不變的，故此分速度的方向也是不變的。由此可得到結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)速度的方向也是不變的，即質(zhì)點(diǎn)在給定的場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其軌跡是直線(xiàn)，在Oxz平面內(nèi)，與電場(chǎng)力和重力的合力垂直。

(ii)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)表明電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用力的合力F等于0。設(shè)存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度的大小為v0，它在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為v0x、v0y和v0z，這也就是在電場(chǎng)、磁場(chǎng)剛要消失時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度在三個(gè)場(chǎng)方向的分量，以Fx、Fy和Fz分別表示F在坐標(biāo)標(biāo)系中的分量，則有

Fx=qEqv0zB=0 (1)

Fy=0 (2)

Fz=mg+qv0xB=0 (3)

由(1)、(3)式得

(4)

(5)

若知道了粒子的速率v0，粒子速度的y分量為

(6)

因?yàn)殡妶?chǎng)和磁場(chǎng)消失后，粒子僅在重力作用下運(yùn)動(dòng)，任何時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的速度為

vx=v0x (7)

vy=v0y (8)

vz=v0zgt (9)

當(dāng)vx等于0時(shí)，粒子的動(dòng)能最小，這最小動(dòng)能

(10)

根據(jù)題意有

(11)

由(10)、(11)式得

(12)

由(4)、(5)、(6)、(12)各式得

(13)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題16分。第(i)小問(wèn)4分。通過(guò)論證得到質(zhì)點(diǎn)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的結(jié)論得4分。第(ii)小問(wèn)12分。(4)式3分，(5)式3分，求得(13)式6分。