Question

【題目】如圖所示，質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)的小球從靜止開(kāi)始沿斜面由A點(diǎn)滑到B點(diǎn)后，進(jìn)入與斜面圓滑連接的 豎直圓弧管道 ，管道出口為C，圓弧半徑R=15cm，AB的豎直高度差h=35cm．在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線勻速旋轉(zhuǎn)的圓筒（不計(jì)筒皮厚度），筒上開(kāi)有小孔D，筒旋轉(zhuǎn)時(shí)，小孔D恰好能經(jīng)過(guò)出口C處．若小球射出C口時(shí)，恰好能接著穿過(guò)D孔，并且還能再?gòu)腄孔向上穿出圓筒，小球返回后又先后兩次向下穿過(guò)D孔而未發(fā)生碰撞．不計(jì)摩擦和空氣阻力，取g=10m/s2 ， 問(wèn)：

（1）小球到達(dá)C點(diǎn)的速為多少度vc為多少？
（2）圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的最大周期T？
（3）在圓筒以最大周期T轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，要完成上述運(yùn)動(dòng)圓筒的半徑R′必須為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：對(duì)小球從A→C由機(jī)械能守恒定律得：mgh=mgR+

代入數(shù)值解出 v0=2m/s

（2）

解：如圖所示，小球向上穿出圓筒所用時(shí)間為t1

則t1= （k=1，2，3…）

小球從離開(kāi)圓筒到第二次進(jìn)入圓筒所用時(shí)間為2t2．

2t2=nT （n=1，2，3…）

對(duì)小球由C豎直上拋的上升階段，由速度公式得：

0=v0﹣g（t1+t2）

聯(lián)立解得 T= s

當(dāng)n=k=1時(shí)，Tmax=0.2s

（3）

解：對(duì)小球在圓筒內(nèi)上升的階段，由位移公式得：

2R′=v0t1﹣

代入數(shù)值解得 R′=0.075m

【解析】（1）對(duì)小球從A→C，運(yùn)用根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度．（2）小球向上穿出圓筒所用時(shí)間是轉(zhuǎn)動(dòng)周期的奇數(shù)倍，小球從離開(kāi)圓筒到第二次進(jìn)入圓筒所用時(shí)間是圓筒周期的整數(shù)倍，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出周期的通項(xiàng)，即可求得最大周期．（3）根據(jù)周期的表達(dá)式求出最大周期，從而求出在圓筒內(nèi)豎直上升的位移，即半徑的2倍，根據(jù)該關(guān)系求出圓筒的半徑．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的機(jī)械能守恒及其條件和機(jī)械能綜合應(yīng)用，需要了解在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動(dòng)能和重力勢(shì)能（及彈性勢(shì)能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變；系統(tǒng)初態(tài)的總機(jī)械能E 1 等于末態(tài)的總機(jī)械能E 2 ，即E1 =E2；系統(tǒng)減少的總重力勢(shì)能ΔE P減 等于系統(tǒng)增加的總動(dòng)能ΔE K增 ，即ΔE P減 =ΔE K增；若系統(tǒng)只有A、