Question

航天宇航員在月球表面完成了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點(diǎn)，放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)給小球水平初速度v₀時(shí)，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知引力常量為G，圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，其最小發(fā)射速度．

Answer 1

分析：（1）小球從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程中，只有月球的引力做負(fù)功，由動(dòng)能定理求得到達(dá)最高點(diǎn)的速度，而此刻速度滿足月亮的引力提u供其沿圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度
（2）由月球表面的物體的重力約等于物體與月亮的萬(wàn)有引力可得月球的質(zhì)量
（3）在月球表面上發(fā)射衛(wèi)星的條件是，衛(wèi)星的速度滿足萬(wàn)有引力提供勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程即可

解答：解：（1）設(shè)小球的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，因小球在最高點(diǎn)恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)時(shí)小球速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=

mv2

r

①
從最低點(diǎn)帶最高點(diǎn)過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-mg×2r=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 0

②
由①②得g=

v 2 0

5r

③
（2）對(duì)于任一月球表面的物體m′，萬(wàn)有引力等于其重力，即：
m′g=

GMm′

R2

④
由③④得，M=

R2v 2 0

5Gr

⑤
（3）發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，設(shè)其質(zhì)量為m₁，其最小發(fā)射速度v₁，則有：
m₁g=

mv 2 1

R

⑥
聯(lián)立③⑥得，

v0 5Rr

5r

答（1）月球表面的重力加速度g=

v 2 0

5r

（2）月球的質(zhì)量M=

R2v 2 0

5Gr

（3）最小發(fā)射速度v₁=

v0 5Rr

5r

點(diǎn)評(píng)：在任意星體的表面都有物體的萬(wàn)有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬(wàn)有引力恰提供其繞星球表面運(yùn)行的向心力時(shí)的速度，此時(shí)軌道半徑就是星球的半徑