Question

航天宇航員在月球表面完成了如下實驗：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點，放一可視為質(zhì)點的小球，當給小球水平初速度v₀時，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動．已知圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期T．

Answer 1

分析：（1）小球從圓軌道最低點到最高點過程中，只有月球的引力做負功，由動能定理求得到達最高點的速度，而此刻速度滿足月亮的引力提u供其沿圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求解

解答：解：（1）設小球的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，因小球在最高點恰好完成圓周運動，設最高點時小球速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=

mv2

r

①
從最低點帶最高點過程中，由動能定理得：
-mg×2r=

1

2

mv²-

1

2

m

v

2 0

②
由①②得g=

v 2 0

5r

   ③
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得
對衛(wèi)星：

GMm

(2R)2

=m

4π2

T2

×2R   ④
對小球：

GMm′

R2

=m′g   ⑤
由③④⑤得：T=

4π

v0

10Rr

答：（1）月球表面的重力加速度是

v 2 0

5r

；
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期是

4π

v0

10Rr

．

點評：掌握在任意星體的表面都有物體的萬有引力等于重力這一等式結(jié)合萬有引力提供向心力求解．