Question

航天宇航員在月球表面完成了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點(diǎn)，放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)給小球水平初速度v₀時，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動．已知圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R．若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，求最小發(fā)射速度．

Answer 1

分析：由于小球恰好經(jīng)過最高點(diǎn)，根據(jù)重力提供向心力，可求出在最高點(diǎn)的速度；小球在軌道內(nèi)部運(yùn)動過程中，只有重力做功，由動能定理列式可求出月球表面重力加速度g，根據(jù)重力提供向心力，可求出最小發(fā)射速度．

解答：解：設(shè)月球表面重力加速度為g，月球質(zhì)量為M．
球剛好完成圓周運(yùn)動，則小球在最高點(diǎn)有  mg=

mv2

r

…①
從最低點(diǎn)至最高點(diǎn)由動能定理得-mg?2r=

1

2

mv²-

1

2

m

v

2 0

…②
由①②可得；g=

v 2 0

5r

             
在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為月球第一宇宙速度，重力提供向心力：m′g=m′

v2

R

解得：v=

gr

=

v0

5r

5Rr

答：月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星最小發(fā)射速度是

v0

5r

5Rr

．

點(diǎn)評：本題涉及兩個圓周運(yùn)動，小球在光滑軌道內(nèi)運(yùn)動時，在最高點(diǎn)重力提供向心力；衛(wèi)星在月球表面做圓周運(yùn)動時，重力提供向心力．